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理工数学シリーズ第10弾！
政権の支持率、株価予想、天気予報、我々の生活を左右する数値データは
どれだけ信頼できるのだろうか
これらの統計に頼った数値が、どのように算出されたかを知ることで、
本当に価値のあるデータを見極めることができる

本書では、“平均”や“分散”など統計の基本を再確認したあと、正規分布、
二項分布、t分布、χ2分布、F分布、ポアソン分布などの確率密度関数を
通して、必要なデータが数式で表現できることを学べる

もくじ
はじめ ····································································· 3

第1 章 データ解析と記述統計 ················································ 9
1. 1. データ解析 9
1. 2. 分散 11
1. 3. 分散公式 13
1. 4. 標準偏差 16
1. 5. 記述統計から推測統計へ 21

第2 章 正規分布とガウス関数 ················································ 24
2. 1. 統計の視点 24
2. 2. 平均と分散 26
2. 3. 標本数 27
2. 4. 標準偏差 28
2. 5. 誤差の分布 29
2. 6. 誤差分布の形状 31
2. 6. 1. 分散の影響 35
2. 6. 2. ガウス関数の積分 36
2. 7. 正規分布に対応した関数 39
2. 8. 標準正規分布 40
2. 9. 正規分布の計算方法 43
2. 10. 68－95－99.7 則 49
2. 11. 誤差関数 51
補遺2-1 指数関数 53
A2. 1. 指数関数の定義 53
A2. 2. 指数関数の級数展開 55

第3 章 推測統計 ···························································· 58
3. 1. 母数と標本データ 58
3. 2. 正規分布の加法性 60
3. 3. 標本標準偏差 62
3. 4. 母平均の区間推定 65
3. 5. 信頼区間の設定 69
3. 6. 標本分散と母分散 71
3. 7. 母分散の不偏推定値 73
3. 8. 母平均の推定－正規分布 75
3. 9. 母平均の推定－t 分布 77
3. 9. 1. t 分布 77
3. 9. 2. t 分布による区間推定 79
3. 10. X2 分布と分散 82
3. 10. 1. 分散が従う確率分布 82
3. 10. 2. 分散の区間推定 84
3. 11. 分散の比の推定 88
3. 11. 1. F 分布 88
3. 11. 2. 分散比の区間推定 89
3. 12. 点推定 91
コラム 96

第4 章 統計的仮説検定 ······················································· 97
4. 1. 統計における仮説検定 97
4. 1. 1. 仮説の設定 97
4. 1. 2. 仮説の検証 97
4. 2. 帰無仮説と対立仮説 98
4. 3. t 検定 103
4. 4. χ2 検定－母分散の検定 108
4. 5. F 検定－分散比の検定 112

第5 章 確率と確率分布 ······················································· 117
5. 1. 確率と統計 117
5. 2. 連続型確率変数 123
5. 3. 期待値と不偏推定値 124
5. 4. モーメント母関数 133
5. 5. 確率密度関数の条件 138

第6 章 t 分布の確率密度関数 ··············································· 141
6. 1. t 分布の確率密度関数 142
6. 2. ガンマ関数 143
6. 3. t 分布の形状 146
6. 4. ベータ関数 149
6. 5. 正規分布とt 分布 154
6. 6. ベータ関数とガンマ関数 156
6. 7. まとめ 160

第7 章 χ2分布の確率密度関数 ·············································· 161
7. 1. χ2 の定義 161
7. 2. χ2 分布の確率密度関数 162
7. 3. 自由度に依存した関数 164
7. 4. 期待値 168
7. 5. χ2 分布の分散 170
7. 6. モーメント母関数 172
7. 7. 標準偏差の不偏推定値 175

第8 章 F 分布の確率密度関数 ·············································· 179
8. 1. F 分布の確率密度関数 180
8. 2. F 分布とt 分布 184
8. 3. F 分布の期待値 186
8. 4. F 分布の分散 190

第9 章 2 項分布 ·························································· 199
9. 1. 順列と組み合わせ 199
9. 2. 2 項定理 204
9. 3. 2 項分布とは 206
9. 4. 平均と分散 213
9. 5. 2 項分布と正規分布 215

第10 章 ポアソン分布 ····················································· 223
10. 1. 2 項分布 223
10. 2. ポアソン分布の登場 224
10. 3. 平均と分散 227
10. 4. ポアソン分布の応用 229

第11 章 指数分布とワイブル分布 ··········································· 231
11. 1. 指数分布 231
11. 2. ハザード関数とワイブル分布 237
11. 3. ワイブル分布の平均と分散 240

第12 章 2 変数の確率分布 ················································· 245
12. 1. 同時確率分布 245
12. 2. 2 次元確率分布の期待値 248
12. 3. 確率変数の独立性 250
12. 4. 2 次元確率変数の分散 251
12. 5. 正規分布の加法性 253

おわりに ································································· 258

著：村上 雅人
村上 雅人
理工数学研究所 所長 工学博士
情報・システム研究機構 監事
2012 年より2021 年まで芝浦工業大学学長
2021 年より岩手県DX アドバイザー
現在、日本数学検定協会評議員、日本工学アカデミー理事
技術同友会会員、日本技術者連盟会長
著書「大学をいかに経営するか」（飛翔舎）
「なるほど生成消滅演算子」（海鳴社）
など多数

著：井上 和朗
井上 和朗
物質・材料研究機構 研究業務員 博士（工学）
1998 年－2006 年 （財）国際超電導産業技術研究センター超電導工学研究所
2006 年－2008 年 物質・材料研究機構 特別研究員
2013 年－2018 年 芝浦工業大学工学部材料工学科特任教授
著書「回帰分析」（飛翔舎）

著：小林 忍
小林 忍
理工数学研究所 主任研究員
著書「超電導の謎を解く」（C＆R 研究所）
「低炭素社会を問う」（飛翔舎）
「エネルギー問題を斬る」（飛翔舎）
「SDGs を吟味する」（飛翔舎）
監修「テクノジーのしくみとはたらき図鑑」（創元社）