出版書誌データベース

面積とはなんだろうかという基本的な問いかけからはじめ、ルベーグ測度、ハウスドルフ次元を懇切丁寧に記述し、さらに掛谷問題を通して現代解析学の最先端の話題までをやさしく解説した。

第１部　面積とはなにか
第１章 素朴な面積の理論
　１　ジョルダンによる面積の定義
　２　ジョルダンの意味で面積が測定できない図形
第２章 ルベーグの意味の面積
　１　有限の世界と無限の世界
　２　ルベーグによる面積の定義
第３章 面積を測定できる図形とルベーグ測度
　１　ルベーグ測度の完全加法性
　２　どのような図形がルベーグ可測か
　３　外測度が∞の図形のルベーグ可測性について
第４章 ルベーグ測度の代数的および幾何的性質
　１　ルベーグ可測集合族の代数と等測包
　２　ルベーグ測度の平行移動と回転不変性について
第５章 カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ
第６章 d 次元ルベーグ測度
第２部　ルベーグ積分
第７章 ルベーグ可測関数
　１　ルベーグ可測関数の定義と性質
　２　可測関数の単関数による近似
第８章 ルベーグ積分
　１　ルベーグ積分の定義
　２　「ほとんどすべての点で成り立つ」という考え方
第３部　ルベーグ積分の重要な定理
第９章 ルベーグの収束定理
第10章 ルベーグ積分とＬP 空間
　１　ＬP 不等式
　２　バナッハ空間とＬP 空間
第11章 フビニの定理
　１　フビニの定理
　２　フビニの定理の応用例
第４部　ルベーグ測度0の不思議な図形とハウスドルフ次元
第12章 無視できない測度０の図形——カントル集合
　１　カントル集合
　２　カントルの悪魔の階段
　３　正方形を埋め尽くすほとんどいたるところ微分可能な曲線
第13章 不思議な測度０の図形——ベシコヴィッチ集合
　１　ベシコヴィッチ集合と実解析学
　２　ペロンの木によるベシコヴィッチ集合の構成
第14章 ハウスドルフ測度
　１　曲線の長さ
　２　曲線の長さを測定できる１次元ハウスドルフ測度
　３　１次元ハウスドルフ測度では測れない曲線
　４　s次元ハウスドルフ外測度
　５　Ｒd 上のs次元ハウスドルフ外測度
第15章 ハウスドルフ次元
　１　ハウスドルフ次元
　２　さまざまな図形のハウスドルフ次元
　３　定理15.6の証明
　４　アフィン変換とベシコヴィッチ集合
第16章 発展的なトピックス——掛谷予想とブルガン予想
　１　掛谷集合
　２　ブルガン予想
付録
Ａ　実数の基本的な性質
Ｂ　有界閉集合
Ｃ　p 進小数
Ｄ　可算集合、非可算集合、カントルの定理
Ｅ　図形の収束
Ｆ　ジョルダン可測性の定義について
G ルベーグ積分に関するいくつかの定理
Ｈ　抽象的積分論