出版書誌データベース

【本書の特徴】
本書は，通常の線形代数の枠組みを環・加群など抽象代数も含む広義の線形代数として体系化した書籍です。数理工学で現れる構造を読み解く力を養うことを目指します。集合と写像から出発し，商（同値類）の考え方を丁寧に整理したうえで，ユークリッド整域を中心とする環・整域の基礎を導入します。さらに，通常の線形代数の議論が「どこまで通用し，どこから拡張が必要か」を見通せるように構成しました。
本書の核は，行列式を足場に，エルミート標準形・スミス標準形・ジョルダン標準形を一本の流れとして理解できる点にあります。標準形を単なる計算結果としてではなく，「同値変換（基底の取り換え）で何を動かしてよく，何が不変量として残るのか」という観点で捉えることで，論文や専門書で標準形が現れたときにも，議論の要点を的確に理解できるようになります。後半では，非負行列とマルコフ連鎖，グラフラプラシアンとクロン縮約（大規模ネットワークの縮約），離散フーリエ変換・FFTへと展開し，抽象理論が解析手法や計算アルゴリズムへつながることを示します。
線形代数の基礎を一度学んだ学部3年生以上を主対象に，研究の共通基盤として学び直し，理解を深めたい読者に最適です。

【主要目次】
1．準備／2．代数学の基本事項／3．加群／4．整域上の行列の行列式／5．ユークリッド整域上の行列の標準形／6．非負行列とその応用／7．多項式の積と高速フーリエ変換／8．数理工学への案内

【本書のキーワード】
数理工学，線形代数，抽象代数，行列の標準形，非負行列，マルコフ連鎖，グラフラプラシアン，クロン縮約，離散フーリエ変換，高速フーリエ変換

1．準備
1.1　集合　
1.2　写像　
1.3　商集合　
章末問題

2．代数学の基本事項
2.1　本章の全体像　
2.2　群　
　2.2.1　群の作用と軌道　
　2.2.2　部分群と剰余類　
　2.2.3　正規部分群と剰余群　
　2.2.4　群の準同型定理　
2.3　環と体　
　2.3.1　環の重要な例：行列環　
　2.3.2　可換環の重要な例：多項式環　
　2.3.3　部分環　
　2.3.4　イデアル　
　2.3.5　剰余環　
　2.3.6　環の準同型　
　2.3.7　多項式への代入　
　2.3.8　環の直積と中国剰余定理　
2.4　整域　
　2.4.1　商体　
　2.4.2　最大公約元　
　2.4.3　ユークリッド整域　
　2.4.4　単項イデアル整域　
　2.4.5　素元と既約元　
章末問題

3．加群
3.1　加群の定義　
3.2　加群の間の準同型写像　
3.3　加群の直和と準同型写像の直和　
　3.3.1　外部直和：複数の加群から新たな加群を構成　
　3.3.2　内部直和：加群から複数の部分加群に分解　
　3.3.3　外部直和と内部直和の関係　
　3.3.4　加群の直和の同型写像　
　3.3.5　準同型写像の直和　
3.4　自由加群　
3.5　ベクトル空間　
3.6　整域上の行列のランク　
3.7　自由加群の性質　
3.8　自由加群の間の準同型写像の表現行列　
3.9　ユニモジュラ行列　
3.10　基本変形と基本行列　
3.11　基底の変換　
3.12　不変部分加群と表現行列　
章末問題

4．整域上の行列の行列式
4.1　行列式の基本的な性質　
4.2　逆行列の公式　
4.3　コーシー・ビネの公式　
4.4　行列式を用いた行列のランクの特徴付け　
4.5　行列式因子　
4.6　ケーリー・ハミルトンの定理　
4.7　シューア補行列と商公式　
章末問題

5．ユークリッド整域上の行列の標準形
5.1　本章の全体像　
5.2　標準形導出のための準備　
5.3　エルミート標準形　
5.4　スミス標準形　
5.5　ジョルダン標準形　
5.6　固有値，固有ベクトル，（一般化）固有空間　
　5.6.1　線形写像の固有値と固有ベクトル　
　5.6.2　固有値の幾何学的重複度と代数的重複度　
　5.6.3　一般化固有空間　
5.7　対角化可能な複素正方行列　
5.8　ジョルダン標準形の応用例：離散時間線形システムの安定性　
5.9　本章でユークリッド整域上の行列を考えた理由　
章末問題

6．非負行列とその応用
6.1　非負行列の理論　
　6.1.1　非負行列と有向グラフ　
　6.1.2　非負行列の既約性と可約性　
6.2　マルコフ連鎖　
6.3　グラフラプラシアンとそのクロン縮約　
　6.3.1　クロン縮約の存在性　
　6.3.2　クロン縮約によって得られた行列の性質　
　6.3.3　クロン縮約後のグラフの性質　
　6.3.4　本節の結果に関する注意　
章末問題

7．多項式の積と高速フーリエ変換
7.1　計算量について　
7.2　多項式の評価と補間　
7.3　多項式の積の計算法　
7.4　離散フーリエ変換と高速フーリエ変換　
　7.4.1　離散フーリエ変換　
　7.4.2　高速フーリエ変換　
　7.4.3　線形代数の観点からの高速フーリエ変換　
　7.4.4　畳み込みと多項式の積の同値性　
7.5　線形システムと畳み込み　
　7.5.1　単一入力単一出力の場合　
　7.5.2　複数入力複数出力の場合　
7.6　高速フーリエ変換の深層状態空間モデルへの応用　
章末問題

8．数理工学への案内
8.1　トポロジカルデータ解析　
8.2　代数解析学に基づくシステム制御理論　
8.3　格子暗号　

付録
A.1　対称群　
A.2　ノルム　
引用・参考文献
章末問題解答
索引