はじめに
記号表
第1章 熱方程式と差分法
1.1 熱方程式
1.2 差分商
1.3 陽的スキーム
1.4 陰的スキーム
1.5 収束性と誤差評価
1.6 l∞誤差解析の再検討
1.7 Neumann境界条件
1.8 安定性とvon Neumann条件
ノート
(a) 差分法についての補足
(b) De Fort-FrankelスキームとLaxの同値性定理
章末問題
第2章 差分法の応用
2.1 半線形反応拡散方程式
2.2 移流拡散方程式とKeller-Segel方程式
2.3 波動方程式
2.4 Cahn-Hilliard方程式
2.5 非線形Schrödinger方程式―スキームと保存則
2.6 非線形Schrödinger方程式―適切性と誤差評価
ノート
(a) 爆発
(b) 対称性
章末問題
第3章 Poisson方程式と有限要素法
3.1 変分問題とGalerkin-Ritz法
3.2 有限要素法の導入
3.3 関数解析の準備
3.4 弱解と正則性
3.5 補間誤差評価
3.6 有限要素法の誤差評価
3.7 離散最大値原理
ノート
(a) 有限要素法についての覚書
(b) 正則でない解の有限要素近似
(c) 有限体積法
章末問題
第4章 有限要素
4.1 重心座標，d単体とd長方形
4.2 Lagrange有限要素
4.3 Sobolev空間Wm,p
4.4 補間誤差
4.5 三角形分割，四角形分割と有限要素空間
4.6 一般の有限要素
4.7 準補間作用素
4.8 L2射影作用素と逆不等式
ノート
(a) 部分領域分割に関わる用語法
(b) 補間誤差評価と要素形状，および補間誤差定数
(c) いろいろな準補間作用素
(d) Wm,p-Wl,q型の逆不等式
章末問題
第5章 楕円型方程式
5.1 Lax-Milgramの定理
5.2 楕円型偏微分方程式
5.3 Dirichlet 境界値問題
5.4 Robin境界値問題
5.5 Nitsche型境界処罰法
5.6 不連続Galerkin法
5.7 重調和方程式
5.8 離散最大値原理
ノート
(a) 解の正則性と分数階の誤差評価
(b) 領域の近似
(c) W1,p評価とLp評価
(d) 事後誤差評価
(e) 基本解近似解法
章末問題
第6章 Stokes方程式
6.1 一般化Lax-Milgramの定理
6.2 鞍点型変分問題とGalerkin近似
6.3 Stokes方程式
6.4 P2/P1(Taylor-Hood)要素
6.5 安定化有限要素法
6.6 応力境界条件
ノート
(a) 一般化Lax-Milgramの定理の周辺
(b) Brezzi理論とBabuška理論，そして菊地理論
(c) 宇澤反復法
(d) 非圧縮条件の有限要素近似
(e) P1b/P1(MINI)要素とFortin作用素
(f) 下限上限条件の最良評価
章末問題
第7章 放物型方程式
7.1 Gel'fandトリプルとBochner空間
7.2 放物型偏微分方程式
7.3 半離散有限要素近似
7.4 全離散近似
7.5 熱方程式の全離散近似
7.6 解析半群
7.7 解析半群の有限要素近似
7.8 解析半群の有理関数近似
7.9 集中質量近似
7.10 離散最大値原理
ノート
(a) Runge-Kutta法
(b) 不連続Galerkin時間離散化法
章末問題
第8章 移流拡散方程式
8.1 移流卓越問題
8.2 安定化手法―導入と強圧性
8.3 安定化手法―安定性と誤差評価
8.4 不連続Galerkin法
8.5 風上有限要素法
8.6 保存的風上有限要素法
ノート
(a) SUPG安定化法の由来
(b) 風上有限要素法についての覚書
(c) 特性曲線法
章末問題
付録A 関数解析と関数空間
A.1 Banach空間，Hilbert空間と線形作用素
A.2 可測関数，可測集合，およびL1空間
A.3 領域の滑らかさと形状
A.4 Lp(Γ)空間，トレース定理と部分積分公式
A.5 下限上限条件の証明
A.6 W(J;V,V')に関する命題の証明
A.7 －Δの固有値問題
付録B 差分法の実行
B.1 非斉次熱方程式
B.2 非線形Schrödinger方程式
付録C 有限要素法の実行
C.1 例題の設定
C.2 三角形分割の作成
C.3 弱形式とその行列・ベクトル表現
C.4 メイン関数
C.5 係数行列の構成
C.6 Robin境界条件
C.7 Dirichlet境界条件の取り込みと連立一次方程式の解法
C.8 解の可視化
C.9 5次精度7点数値積分公式
C.10 誤差の観察
問題の略解
参考文献
索引
