出版書誌データベース

本書は、代数学の基本概念である群と環・体の基本を中心に概説した教科書である。大学の数学科3年生向けの代数学通年講義をカバーしている。加えて加群の初等的理論、有限群の表現論の初歩も記述している。扱っている主要なテーマは、群の準同型定理、群の作用、群の組成列、可換環での整除、ネーター環でのイデアルの準素分解、主イデアル整域上の加群の構造、加群のテンソル積、半単純アルチン環の構造定理と有限群の表現への応用、代数拡大のガロワ理論と代数方程式への応用、体の超越拡大などである。
有限群の表現と指標の初等理論は、複素数体上の表現に限らない形で展開を試みた。非可換の場合も含めたいろいろな環を扱い、イデアルの準素分解も紹介したのは、本書の特長と言えよう。より専門的な内容を学ぶ際のベースキャンプとして本書を使うことが出来よう。
本書を通じて、各定義を理解するための典型的な例を挙げ、ほぼすべての命題・定理に証明を付けてある。証明を理解すると共に、例を確認する作業を通じて定義の意味、定理の意義を理解するよう心掛けてほしい。また、各小節ごとに演習問題を数問ずつおいたので、いくつか試してみるとよい。比較的詳しい解答が本書末に載せてある。

第0章　集合・写像
　0.1　集合
　0.2　写像
　0.3　添字づけられた族，直積
　0.4　同値関係
　0.5　自然数・整数
　0.6　集合の対等と濃度
　0.7　順序集合とツォルンの補題
第1章　群
　1.1　群
　　1.1.1　モノイド
　　1.1.2　群
　　1.1.3　群の準同型
　　1.1.4　置換群
　　1.1.5　剰余類，正規部分群，商群
　　1.1.6　準同型定理
　　1.1.7　巡回群・2面体群
　1.2　群の作用
　　1.2.1　作用
　　1.2.2　共役類
　　1.2.3　類等式
　　1.2.4　シローの定理
　1.3　群の構造
　　1.3.1　可解群・べき零群
　　1.3.2　組成列
　　1.3.3　自由モノイド，関係式
第2章　環
　2.1　環
　　2.1.1　環の定義
　　2.1.2　イデアル，商環
　　2.1.3　環の準同型
　2.2　いろいろな環
　　2.2.1　多項式環
　　2.2.2　分数環
　　2.2.3　行列環
　　2.2.4　四元数
　　2.2.5　モノイド環
　2.3　可換環の諸性質
　　2.3.1　環での整除と昇鎖律
　　2.3.2　一意分解環
　　2.3.3　多項式環の一意分解性
　　2.3.4　イデアルの準素分解
第3章　環上の加群
　3.1　加群
　　3.1.1　加群
　　3.1.2　準同型
　　3.1.3　既約加群，直既約分解
　　3.1.4　アルチン加群，ネーター加群
　3.2　主イデアル整域上の加群
　　3.2.1　有限生成加群の単因子と構造
　　3.2.2　線形変換の標準形
　3.3　テンソル積
　　3.3.1　加群のテンソル積
　　3.3.2　加群の係数変更
　3.4　代数
　　3.4.1　可換環上の代数
　　3.4.2　テンソル代数
　3.5　半単純アルチン環
　　3.5.1　単純環
　　3.5.2　アルチン環の構造
第4章　有限群の表現
　4.1　群の表現
　　4.1.1　表現と群環上の加群
　　4.1.2　完全可約性
　4.2　表現の指標
　　4.2.1　指標の基本性質
　　4.2.2　指標の直交関係と指標環
　4.3　誘導表現と相互律
　　4.3.1　誘導表現
　　4.3.2　フロベニウスの相互律
第5章　体とガロワ群
　5.1　代数拡大
　　5.1.1　拡大体，代数拡大
　　5.1.2　分解体
　　5.1.3　代数閉体
　　5.1.4　有限体
　　5.1.5　正規拡大
　　5.1.6　分離代数拡大
　5.2　ガロワ理論
　　5.2.1　ガロワ拡大
　　5.2.2　ガロワ対応
　　5.2.3　方程式のガロワ理論
　　5.2.4　トレース，ノルムと応用
　5.3　超越拡大
　　5.3.1　超越基底
　　5.3.2　環の整拡大
　　5.3.3　リュロートの定理
参考書
練習問題の略解
索引