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関孝和がベルヌーイ数を発見していたことは特に有名ですが、和算家が大きく貢献した有名な数が他にもあります。関孝和の孫弟子にあたる松永良弼（よしすけ）によるベル数や、坂正永（まさのぶ）によるスターリング数などです。和算家たちはこれらの数を「場合の数」と捉えます。一方、スターリングなど西洋の数学者たちは「代数」と捉えていました。スターリング数は、ベルヌーイ数に関する重要なクラウゼン-フォンシュタウトの定理に欠かせない重要な数でもあります。和算と西洋数学によるそれらの数の捉え方の違いを通して、それらがどのようにしてベルヌーイ数へとつながっていくのか、わかりやすく解説します。題材として「源氏香図」を使います。これは単なるデザインではなく、数学的な意味をもつもので、源氏香52通りはベル数とも呼ばれています。
楽しみながら数学を学ぶことができる1冊です。

はじめに

1章　源氏香のミステリー
　日本発の研究とは…
　「源氏香図」52個に『源氏物語』54帖が…
　「源氏香」から和算家達が発見した式とは…
　「二項係数」を並べて「パスカルの三角形」を作ろう
　「源氏香図」52個を描き上げよう
　源氏香図のミステリー（1）
　コラム1 10種香は何通りか（1）

2章　 和算家のスターリング数
　和算家達のさらなる発見とは…
　漸化式から「第2種スターリング数の三角形」を作ろう
　「n＝4の香図」を描き上げよう
　源氏香図のミステリー（2）
　漸化式から「第1種スターリング数の三角形」を作ろう
　「置換」を「プレゼント交換」で見てみよう
　「置換」を「サイクルの個数」で見てみよう
　nを増やして「置換」のサイクルを見ていこう
　コラム2 10種香は何通りか（2）

3章　スターリングのスターリング数
　「二項係数」の関係式を代数の側面から見てみよう
　二項係数の「一般項」を場合の数から求めよう
　「べき乗」を「下降階乗」で表そう
　「べき乗」を「上昇階乗」で表そう
　第2種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
　何を展開すると第2種スターリング数が現れるか
　第2種スターリング数の「一般項」はどうなるか
　場合の数の「包除原理」から一般項を求めよう
　「n!」を「二項係数」で表そう
　第1種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう
　「第1種スターリング数の多項式」を因数分解しよう
　「上昇階乗」を「べき乗」で表そう
　「下降階乗」を「べき乗」で表そう
　「べき乗」→「下降（上昇）階乗」→「べき乗」
　コラム3 攪乱順列とモンモール数

4章　ベル数と無限級数
　無限和を、ベルヌーイ数を用いて表そう
　無限和を、ベル数を用いて表そう（1）
　ベル数の「母関数」を求めよう
　無限和を、ベル数を用いて表そう（2）
　e^xから始め、xをかけて微分していくと…
　xをかけ、それを微分した式とたし算すると…
　無限級数から第2種スターリング数の「一般項」を…
　第2種スターリング数の「母関数」を求めよう
　第1種スターリング数の「母関数」を求めよう
　コラム4 ベルヌーイ数と「べき乗和の公式」

5章　スターリングにとっては同一種
　「パスカルの三角形」をさかのぼろう（1）
　「マイナス行」を「二項係数」で表そう
　「マイナス行」に現れた「重複組合せ」とは…
　(1-x)^-nの展開に着目しよう（1）
　「パスカルの三角形」をさかのぼろう（2）
　(1-x)^-nの展開に着目しよう（2）
　「第2種スターリング数の三角形」をさかのぼろう
　「マイナス行」に現れた「第1種スターリング数」
　「逆数のべき乗」を表そう（1）
　「逆数のべき乗」を表そう（2）
　「第1種スターリング数の三角形」をさかのぼろう
　「マイナス行」に現れた「第2種スターリング数」
　「逆数のべき乗」を用いて表そう
　コラム5 スターリング数の性質

6章　不思議な「クラウゼン-フォンシュタウトの定理」
　「上昇階乗」を用いる「積和の公式」とは…
　「べき乗和」を「スターリング数」で表そう
　「ベルヌーイ数」を「第2種スターリング数」で表そう
　「クラウゼン-フォンシュタウトの定理」を見ていこう
　「第2種スターリング数」を素数pで割った「余り」
　偶数番目のベルヌーイ数B2nの「分母」を見てみよう
　「整数-1/素数-1/素数-…-1/素数」の「整数」を求めよう
　「ベルヌーイ数」と「スターリング数」が絡んだ式
索引
参考文献
著者プロフィール

著：小林 吹代
1954年、福井県生まれ。 1979年、名古屋大学大学院理学研究科博士課程（前期課程）修了。 2014年、介護のため早期退職し、現在に至る。 著書に、『ピタゴラス数を生み出す行列のはなし』（ベレ出版） 『ガロア理論「超」入門～方程式と図形の関係から考える～』『マルコフ方程式～方程式から読み解く美しい数学～』 『ガロアの数学「体」入門～魔円陣とオイラー方陣を例に～』 『正多面体は本当に5種類か～やわらかい幾何はすべてここからはじまる～』 『オイラーから始まる素数の不思議な見つけ方～分割数や３角数・４角数などから考える～』 『ゼータへの最初の一歩 ベルヌーイ数～「べき乗和」と素数で割った「余り」の驚くべき関係～』（以上、技術評論社） 『分数からはじめる素数と暗号理論～RSA暗号への誘い～』（現代数学社）などがある。 【URL】http://fukiyo.g1.xrea.com 「12さんすう34数学5 Go!」