目次

まえがき
記号表


1 はじめに――確率偏微分方程式の概観
　1. 1 確率微分方程式
　1. 2 簡単な確率偏微分方程式と自然なノイズ
　1. 3 時空 Gauss 型ホワイトノイズ
　1. 4 周期境界条件つき確率熱方程式
　　1. 4. 1 確率熱方程式
　　1. 4. 2 高階の確率偏微分方程式
　1. 5 Dirichlet あるいは Neumann 境界条件つき確率熱方程式
　　1. 5. 1 超関数解
　　1. 5. 2 軟解
　　1. 5. 3 超関数解と軟解の同値性
　1. 6 確率熱方程式の解とノイズのランダムさの度合いの関わり
　1. 7 確率偏微分方程式の例
　　1. 7. 1 確率反応拡散方程式
　　1. 7. 2 確率 Navier Stokes 方程式
　　1. 7. 3 揺らぎのある界面成長方程式
　　1. 7. 4 弦の揺動方程式
　　1. 7. 5 放物型 Anderson 模型
　　1. 7. 6 生物学，工学，経済学に関連する確率偏微分方程式
　　1. 7. 7 確率偏微分方程式とランダムな偏微分方程式の違い

2 時空 Gauss 型ホワイトノイズ
　2. 1 Hilbert 空間に値をとるマルチンゲール
　2. 2 ホワイトノイズ過程
　　2. 2. 1 柱状 Brown 運動，時空 Gauss 型ホワイトノイズ
　　2. 2. 2 Q Brown 運動，色つきノイズ
　2. 3 確率積分
　　2. 3. 1 被積分関数が H 値の場合
　　2. 3. 2 被積分関数が作用素に値をとる場合
　　2. 3. 3 伊藤の公式

3 半線形確率偏微分方程式
　3. 1 全空間上の確率偏微分方程式
　　3. 1. 1 基本解
　　3. 1. 2 軟解の存在と一意性
　　3. 1. 3 軟解の正則性
　　3. 1. 4 超関数解およびマルチンゲール問題
　　3. 1. 5 Markov 性
　3. 2 有界領域上の確率偏微分方程式
　　3. 2. 1 4階の確率偏微分方程式
　　3. 2. 2 非斉次境界値問題
　3. 3 非 Lipschitz 連続な拡散係数をもつ確率熱方程式
　3. 4 不変測度と可逆測度
　　3. 4. 1 不変測度の基本的な性質
　　3. 4. 2 不変測度の存在と一意性
　　3. 4. 3 勾配系の可逆測度
　3. 5 非負解と比較定理

4 準線形確率偏微分方程式
　4. 1 準線形確率偏微分方程式の例
　　4. 1. 1 拡散方程式
　　4. 1. 2 表面張力による平均曲率流
　4. 2 関数空間の設定
　4. 3 ノルムに対する伊藤の公式
　4. 4 解の存在と一意性
　　4. 4. 1 係数に対する仮定と主定理
　　4. 4. 2 Galerkin 近似

5 確率偏微分方程式の応用
　5. 1 大規模相互作用系の揺動理論と確率偏微分方程式
　　5. 1. 1 非線形離散モデル
　　5. 1. 2 大数の法則流体力学極限
　　5. 1. 3 中心極限定理（平衡揺動）
　　5. 1. 4 Boltzmann Gibbs 原理
　　5. 1. 5 定理5. 1. 2 の証明
　5. 2 確率 Allen Cahn 方程式に対する鋭敏界面極限
　　5. 2. 1 問題の背景
　　5. 2. 2 ノイズがない場合の結果の概観
　　5. 2. 3 ノイズがある場合の結果の概観
　　5. 2. 4 単純なノイズをもつ確率反応拡散方程式の解の存在と一意性
　　5. 2. 5 単純なノイズの場合の鋭敏界面極限

6 特異な確率偏微分方程式
　6. 1 KPZ方程式
　6. 2 確率量子化
　6. 3 正則構造理論
　6. 4 パラコントロール解析理論

7 付録
　7. 1 連続マルチンゲール
　7. 2 Brown 運動
　7. 3 確率積分
　7. 4 伊藤の公式
　7. 5 不変測度と可逆測度
　7. 6 連続マルチンゲールの表現定理
　7. 7 Girsanov 丸山の定理と確率的 Fubini の定理
　7. 8 確率過程の連続性条件
　7. 9 連続確率過程の法則収束
　7. 10 基本的な不等式


参考文献
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