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理工数学シリーズ第11弾　　フーリエ解析　波動解析の基礎
　本書では、物理現象である波を“どのように三角関数の級数に展開するか”を基本に、フーリエ解析の手法と、その応用をくわしく解説する。
　フーリエ変換の変数変換という機能によって、解法困難な微分方程式が解法できることも理解できる。
　19世紀にフ ーリエが発見したフーリエ級数の手法は、フーリエ変換を通して量子力学などの最先端分野へも拡がっていることもわかる。

もくじ
はじめに ································································ 3
第1 章 フーリエ級数展開 ················································· 9
1. 1. フーリエ級数とは 11
1. 2. フーリエ係数の求め方 12
1. 2. 1. sin 関数とcos 関数の積 14
1. 2. 2. sin 関数あるいはcos 関数どうしの積 16
1. 2. 3. フーリエ係数の導出 19
1. 3. フーリエ級数展開の一般式 21
1. 4. 任意周期のフーリエ級数展開 35
1. 5. フーリエサインおよびコサイン級数 39
1. 6. 2 重フーリエ級数展開 43
1. 7. フーリエ級数の収束性 44
補遺1-1 三角関数の公式 46
A1. 1. 加法定理 47
A1. 2. 倍角の公式 48
A1. 3. 積を和差に変える公式 49
A1. 3. 1. sin A cos B とcos A sin B 49
A1. 3. 2. cos A cos B とsin A sin B 49

第2 章 直交関数系 ······················································ 51
2. 1. ベクトルの内積 51
2. 2. ベクトルの展開 55
2. 3. 関数の内積 57
2. 4. 関数のノルム 60
2. 5. 正規直交系 62
2. 6. フーリエ級数成分の正規化 64
2. 7. 関数とベクトル 68
2. 7. 1. 関数に対応するベクトル 69
2. 7. 2. 関数のノルム 70
2. 7. 3. 分割数による補正 71
2. 7. 4. 関数ベクトルのノルム 73
2. 8. 複素数 74
2. 8. 1. 複素ベクトルの内積 75
2. 8. 2. 複素関数の内積 77

第3 章 複素フーリエ級数 ············································· 79
3. 1. 複素フーリエ級数展開 80
3. 2. 複素フーリエ係数 82
3. 3. 任意周期の複素フーリエ級数 89
3. 4. 2 重フーリエ級数 91
3. 5. パーセヴァルの等式 92
3. 5. 1. パーセヴァルの等式の導出 92
3. 5. 2. パーセヴァルの等式の応用 93
3. 5. 3. ベクトルの内積との関係 96
3. 5. 4. 実関数におけるパーセヴァルの等式 96
補遺3-1 オイラーの公式 100
A3. 1. オイラーの公式 100
A3. 2. オイラーの公式の導出 100
A3. 2. 1. べき級数展開 100
A3. 2. 2. 指数関数の展開 102
A3. 2. 3. 三角関数 102
A3. 2. 4. 虚数とオイラーの公式 103
A3. 3. 複素平面と極形式 103

第4 章 微分方程式の解法 ············································ 106
4. 1. 偏微分方程式 106
4. 2. 熱伝導方程式 107
4. 3. 熱伝導方程式の解法 109
4. 4. フーリエ級数と熱伝導方程式の解 113
4. 4. 1. フーリエサイン級数 114
4. 4. 2. フーリエ係数 115
4. 4. 3. 初期条件の温度分布 116
4. 4. 4. 非対称の温度分布 123
4. 5. フーリエ係数がt の変数 126
4. 6. 波動方程式 128
4. 7. 変数分離による解法 130
4. 8. フーリエ級数による解法 133
4. 9. ラプラス方程式 135
4. 10. フーリエ級数によるラプラス方程式の解法 137
補遺4-1 双曲線関数 152

第5 章 フーリエ積分とフーリエ変換 ································· 154
5. 1. フーリエ級数から積分への拡張 154
5. 2. フーリエ積分における周期の考え方 159
5. 3. フーリエ積分におけるフーリエ係数 160
5. 4. フーリエ変換 162
5. 4. 1. フーリエ級数 162
5. 4. 2. フーリエ積分 165
5. 4. 3. フーリエ逆変換 167
5. 5. 主役はフーリエ変換 168
5. 6. フーリエコサインならびにサイン変換 171
5. 7. デルタ関数 173
5. 8. フーリエ変換の制限 177
5. 9. 階段関数 181
補遺5-1 フーリエ変換の係数 183
補遺5-2 フーリエ変換の変数 185
A5. 2. 1. t →ω のフーリエ変換 185
A5. 2. 2. 無次元数と不確定性関係 186
A5. 2. 3. 運動量空間 186

第6 章 フーリエ変換の応用 ······································· 188
6. 1. 変数変換 188
6. 2. フーリエ変換の特徴 190
6. 3. コンボルーション定理 194
6. 4. 微分方程式の解法 197
6. 4. 1. 電気回路 199
6. 4. 2. 熱伝導方程式 201
6. 4. 3. 波動方程式 209
6. 4. 4. ラプラス方程式 213

おわりに ································································ 214

著：村上 雅人
村上 雅人
理工数学研究所 所長 工学博士
情報・システム研究機構 監事
2012 年より2021 年まで芝浦工業大学学長
2021 年より岩手県DX アドバイザー
現在、日本数学検定協会評議員、日本工学アカデミー理事
技術同友会会員、日本技術者連盟会長
著書「大学をいかに経営するか」（飛翔舎）
「なるほど生成消滅演算子」（海鳴社）
など多数

著：安富 律征
安富 律征
大和投資信託（現 大和アセットマネジメント）、ホワイト・ファング・マネジメント代表などを経て、2005 年11 月に合同会社安富資本運用を創業
公益社団法人 日本証券アナリスト協会検定会員
著書「熱血！経済講義: 挑戦する勇気が湧いてくる本」（太陽企画出版）
「攻撃的リスク・マネジメントの実践」（ダイヤモンド・ハーバード・ビジネス、第25 巻2 号、2000 年3 月）
理工数学シリーズ「微分方程式」（飛翔舎）

著：小林 忍
小林 忍
理工数学研究所 主任研究員
著書「超電導の謎を解く」（C＆R 研究所）
「低炭素社会を問う」（飛翔舎）
「エネルギー問題を斬る」（飛翔舎）
「SDGs を吟味する」（飛翔舎）
監修「テクノジーのしくみとはたらき図鑑」（創元社）