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自然は数学という言葉で書かれている。そして、自然現象は微分方程式で記述される
ミクロ世界を記述する量子力学もシュレーディンガーが導出した微分方程式がすべての原点となっている。

式の導出にいっさい手を抜かないと評判の著者が贈る
理工数学シリーズ第9弾

1階1次の微分方程式からはじめて、基本技法を学びながら、より複雑な微分方程式の解法へといざなう。ベルヌーイ、クレロー、オイラー、エルミート、ルジャンドル、数学史に燦然と輝く先達たちが挑戦した方程式の解法も難なく理解できる。

もくじ
はじめに ·········································································· 3
第1 章 微分方程式の分類 ················································· 11
1. 1. 微分方程式の名称 12
1. 2. 微分方程式と解 14

第2 章 1 階1 次微分方程式 ··············································· 17
2. 1. 1 階1 次微分方程式 17
2. 2. 変数分離形 21
2. 3. 同次形 25
2. 4. 1 階線形微分方程式 31
2. 5. 同次方程式の解法 32
2. 6. 非同次方程式の解法 ― 定数変化法 33
2. 7. 定数変化法の定式化 39
2. 8. 非線形微分方程式 43
2. 8. 1. ベルヌーイの微分方程式 43
2. 8. 2. リッカチの微分方程式 50
補遺2-1 変数分離 57
A2-1. 1. 多変数関数の変数分離 57
A2-1. 2. 1 変数関数の場合 58
A2-1. 3. 導関数 58
A2-1. 4. 変数分離形の積分 59
A2-1. 5. 一般式 60
補遺2-2 同次形と同次微分方程式 61
A2-2. 1. 同次関数の定義 61
A2-2. 2. 同次形の微分方程式 62
A2-2. 3. 多項式以外の同次関数 63
A2-2. 4. 同次微分方程式 66

第3 章 完全微分方程式 ···················································· 68
3. 1. 関数の全微分 68
3. 2. 完全微分方程式 71
3. 3. 完全微分方程式の判定方法 75
3. 4. 完全微分方程式の解法 76
3. 5. 積分因子 81
3. 6. 非同次方程式の解法 91
3. 7. 積分因子が2 変数となる場合 94
3. 7. 1. M (x, y) = x^m y^n となる場合 94
3. 7. 2. 同次関数の場合 96
補遺3-1 完全微分方程式 ― 問題のつくり方 102

第4 章 1 階高次微分方程式 ·············································· 104
4. 1. 因数分解による解法 104
4. 2. y = f (x, p) と変形できる場合 108
4. 3. x = f (y, p) と変形できる場合 111
4. 4. クレローの微分方程式 115
4. 5. 特異解 119
4. 6. ラグランジュの微分方程式 124

第5 章 2 階線形微分方程式 ·············································· 129
5. 1. 2 階線形微分方程式 129
5. 2. 2 階線形同次微分方程式 131
5. 3. 定数係数の2 階線形同次微分方程式 132
5. 3. 1. 特性方程式 132
5. 3. 2. 特性方程式の判別式が正の場合 133
5. 3. 3. 特性方程式の判別式が負の場合 134
5. 3. 4. 特性方程式が重解を持つ場合 138
5. 4. 非同次方程式 140
5. 4. 1. 定数変化法 140
5. 4. 2. 定数変化法の定式化 146
5. 5. 未定係数法 149
5. 5. 1. 多項式 149
5. 5. 2. 三角関数 151
5. 5. 3. 指数関数 152
5. 5. 4. 非同次項が関数の積の場合 154
5. 6. 変数係数2 階線形微分方程式 158
5. 6. 1. オイラーの微分方程式 158
5. 6. 2. 階数低下法 160
5. 7. 変数係数の非同次微分方程式 166
5. 7. 1. 変数係数の場合の階数低下法 166
5. 7. 2. 変数係数の場合の定数変化法 170
補遺5-1 線形微分方程式と線形空間 172
A5-1. 1. n 階線形微分方程式 172
A5-1. 2. 線形同次微分方程式の解 172
A5-1. 3. ロンスキー行列式 174
A5-1. 4. 解の線形空間 177
A5-1. 5. 線形空間とベクトル 178
A5-1. 6. 非同次線形微分方程式 180
補遺5-2 級数展開 182
A5-2. 1. 級数展開 182
A5-2. 2. 指数関数 183
A5-2. 3. 三角関数 184
A5-2. 4 テイラー展開 184
補遺5-3 オイラーの公式 186

第6 章 級数解法 ···························································· 189
6. 1. 級数解法 189
6. 2. 変数係数微分方程式 193
6. 3. フロベニウスの方法 194
6. 4. 解の存在 203
6. 5. 級数解法の理工分野への応用 206
6. 6. ベッセルの微分方程式 206
6. 6. 1. ゼロ次のベッセル関数 207
6. 6. 2. m≠0 のベッセル微分方程式の解 209
6. 6. 3. 一般のベッセル関数 211
6. 7. ルジャンドル微分方程式 214
6. 7. 1. ルジャンドル方程式の解 215
6. 7. 2. ルジャンドル多項式 216
6. 8. エルミートの微分方程式 218
6. 8. 1. 級数解法 218
6. 8. 2. エルミート多項式 220
6. 9. ラゲールの微分方程式 221

第7 章 解法可能な高階微分方程式 ···································· 226
7. 1. 定数係数高階線形微分方程式 227
7. 2. 完全微分方程式 230
7. 3. オイラーの微分方程式 239
7. 4. 解法可能な高階微分方程式 244
7. 4. 1. 従属変数 y を含まない高階微分方程式 244
7. 4. 2. 独立変数x を含まない高階微分方程式 246
補遺7-1 特性方程式に重解がある場合の基本解 250

第8 章 演算子法 ···························································· 254
8. 1. 演算子 254
8. 1. 1. 線形演算子 255
8. 1. 2. 演算子の積 256
8. 1. 3. 逆演算子 256
8. 2. 微分と演算子 257
8. 2. 1. 微分演算子 257
8. 2. 2. 積分 258
8. 3. 演算子と微分方程式 259
8. 3. 1. 非同次項が e^kx の場合 260
8. 3. 2. 非同次項が三角関数の場合 264
8. 4. 逆演算子の一般化 267
8. 4. 1. 演算子1/(D-a) の作用 268
8. 4. 2. 非同次項がx の多項式の場合 270
8. 4. 3. 逆演算子の級数展開 271
8. 4. 4. 因数分解できる場合 275
8. 5. 非同次項が種々の関数を含む場合 277

第9 章 連立微分方程式 ··················································· 284
9. 1. 線形代数の手法を利用した解法 287
9. 1. 1. 同次方程式 287
9. 1. 2. 行列の対角化 288
9. 1. 3. 固有値と固有ベクトル 289
9. 1. 4. 固有方程式 291
9. 2. 連立微分方程式の解法 291
9. 3. 非同次方程式 297

おわりに································································· 306

著：村上 雅人
村上 雅人
理工数学研究所 所長 工学博士
情報・システム研究機構 監事
2012 年より2021 年まで芝浦工業大学学長
2021 年より岩手県DX アドバイザー
現在、日本数学検定協会評議員、日本工学アカデミー理事
技術同友会会員、日本技術者連盟会長
著書「大学をいかに経営するか」（飛翔舎）
「なるほど生成消滅演算子」（海鳴社）
など多数

著：安富 律征
安富 律征
大和投資信託（現 大和アセットマネジメント）、ホワイト・ファング・マネジメント代表などを経て、2005 年11 月に合同会社安富資本運用を創業
公益社団法人 日本証券アナリスト協会検定会員
著書「熱血!経済講義: 挑戦する勇気が湧いてくる本」（太陽企画出版）
「攻撃的リスク・マネジメントの実践」（ダイヤモンド・ハーバード・ビジネス、第25 巻2 号、2000 年3 月）

著：小林 忍
小林 忍
理工数学研究所 主任研究員
著書「超電導の謎を解く」（C＆R 研究所）
「低炭素社会を問う」（飛翔舎）
「エネルギー問題を斬る」（飛翔舎）
「SDGs を吟味する」（飛翔舎）
監修「テクノジーのしくみとはたらき図鑑」（創元社）