目次

もくじ
はじめに ························································ 3

第 1 章 変分法 9
1. 1. 関数の停留値9
1. 2. 汎関数と変分11
1. 3. 最速降下曲線問題20
1. 4. オイラー方程式26
1. 5. 最速降下曲線問題の解30
1. 6. 懸垂曲線33
1. 7. オイラー方程式の一般式 41
補遺1-1 変分法におけるy とy' の取り扱い 43

第2 章 解析力学事始め ラグランジアンとラグランジュの運動方程式 ···· 48
2. 1. 物体の運動例 48
2. 2. 最小作用の原理 49
2. 3. 慣性運動54
2. 4. 作用積分55
2. 5. なぜL＝TーU なのか 56
2. 6. ラグランジュの運動方程式60
2. 7. 放物運動62
2. 8. 単振り子66
2. 9. 惑星運動69
2. 10. まとめ 77
補遺2-1 極座標における運動解析 79
A2. 1. 直交座標と極座標 79
A2. 2. 回転行列 82
A2. 3. 極座標におけるベクトル表示 84
A2. 4. 速度ベクトル成分の極座標表示 87
A2. 5. 加速度ベクトルの極座標表示 88
A2. 6. 運動方程式 91

第3 章 仮想仕事の原理 ········································· 93
3. 1. 力のつりあい 93
3. 2. 静力学への応用 98
3. 3. 条件付き極値問題 106
3. 4. ダランベールの原理 109
3. 5. ラグランジアンの導出 113
補遺3-1 ラグランジュの未定乗数法 118
A3. 1. 極値問題 118
A3. 2. 条件付極値 119
A3. 3. 未定乗数法 120

第4 章 一般化座標 ···············································125
4. 1. ラグランジアンと座標 125
4. 2. 一般化座標 130
4. 3. 自由度と運動 132
4. 4. 多体系の振動 143
4. 5. 一般化運動量 159
4. 6. 一般化力 161
4. 7. 循環座標 163

第5 章 ハミルトニアン ···········································166
5. 1. 正準方程式 166
5. 2. 一般化運動量 171
5. 3. 極座標 174
5. 4. 最小作用の原理とハミルトニアン 185
5. 5. エネルギー保存則 188
補遺5-1 ルジャンドル変換 192

第6 章 正準変換 ·················································197
6. 1. 位置と運動量 197
6. 2. 位相空間と単振動 198
6. 3. 一般の運動 202
6. 4. 正準変換 204
6. 5. ラグランジュ方程式の不定性 213
6. 6. 正準変換と母関数 219
6. 7. 無限小変換 231
6. 8. リウビルの定理 235
補遺6-1 母関数の時間変化 238

第7 章 ポアソン括弧 ············································240
7. 1. 正準変換とポアソン括弧 240
7. 2. ポアソン括弧の一般化 242
7. 3. ポアソン括弧の応用 250
7. 4. 自由度 255
7. 5. 角運動量とポアソン括弧 258
7. 6. 生成消滅演算子 260
補遺7-1 ヤコビ恒等式 264

第8 章 ハミルトン-ヤコビ方程式 ·····································268
8. 1. ハミルトニアンがゼロとなる変換 268
8. 2. ハミルトン-ヤコビの手法 273
8. 3. 母関数とラグランジアン 285

おわりに ···························································287