目次

第1 章　中学数学で楽しめる，美しい定理
・2 次方程式の解の公式の3 通りの証明
・三平方の定理の4 通りの美しい証明
・垂心の存在の3 通りの証明
・中線定理の3 通りの証明
・正五角形の対角線の長さと作図方法
・約数の個数の公式と平方数の性質
・√2 が無理数であることの4 通りの証明
・二重根号の外し方のパターンと外せないものの判定
・道順の場合の数を求めるテクニック
・正多面体が5 種類しかないことの2 通りの証明
・テトリスのブロックの種類を数える問題
・ナルシシスト数について
・Look-and-say sequence（見て言って数列）

第2 章　教科書にある公式たちへのちょっと違ったアプローチ
・覚えておくと便利な三角比の値
・ヘロンの公式の証明と使用例
・グラフの平行移動の証明と例
・指数関数のグラフの2 通りの描き方
・部分分数分解の3 通りの方法
・因数分解公式（n 乗の差，和）
・2 次関数の決定とその背景
・ベクトルの内積を用いた余弦定理の証明
・いろいろな三角不等式（絶対値・複素数・ベクトル）
・2 変数の対称式と基本対称式の4 つの性質
・1 次不定方程式ax+by =c の整数解
・外接円の半径と三角形の面積の関係

第3 章　エレガントな証明，地道な証明，どちらがお好き？
・点と直線の距離公式の3 通りの証明
・平面の方程式とその3 通りの求め方
・2 直線のなす角を求める2 通りの方法と比較
・チェバの定理の3 通りの証明
・トレミーの定理とその証明，応用例
・不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca のいろいろな証明
・ネスビットの不等式の5 通りの証明
・円周率が3.05 より大きいことのいろいろな証明
・四平方の定理（図形の面積と正射影）
・素数が無限にあることの美しい証明
・素数の間隔に最大値がないことの3 通りの証明
・オイラーの多面体定理の証明

第4 章　身近な話題の中に潜む，美しい定理や公式
・じゃんけんであいこになる確率の求め方と値
・同じ誕生日の2 人組がいる確率について
・破産の確率と漸化式
・じゃんけんグリコの最適戦略と東大の入試問題
・ニム（複数山の石取りゲーム）の必勝法
・斜方投射の公式の導出と飛距離を伸ばす方法
・ルーローの三角形と定幅図形
・4 色定理の紹介と5 色定理の証明
・ラムゼーの定理と6 人の問題
・平面的グラフとオイラーの定理の応用
・ブライスのパラドックス
・水平線，地平線までの距離の計算方法と例

第5 章　難解な定理・公式も，本質が見えるとおもしろい
・座標から四面体の体積を求める公式
・チェビシェフ多項式
・tan 1°が無理数であることの証明
・三角形の内角における和積公式
・三角形のフェルマー点の3 通りの証明
・テント写像とその性質（東大入試の背景）
・カルダノの公式と例題
・フェルマー数とその性質
・カタラン数の意味と漸化式
・ポリアの壺にまつわる確率とその証明
・全射の個数の証明とベル数
・球面上の三角形の面積と内角の和
・フランク=モーリーの定理とその証明

巻末付録　高校数学と人工知能の関係