関数解析

数学シリーズ

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著：増田　久弥

出版社：裳華房

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内容紹介

関数解析は、ノイマンによる量子力学の基礎づけに応用され急速に発展した。このため、数学だけでなく、物理や工学方面における応用数学の手法としても重要なものになっている。本書では、数学系の３年生を対象に、論理的基礎を解説してある。

1．ノルム空間
　1.1　n 次元ユークリッド空間
　1.2　線形空間（ベクトル空間）
　1.3　ノルム空間
　1.4　バナッハ空間の例
　1.5　可分と同値なノルム
　1.6　完備性
　付録1.1　ワイエルシュトラスの多項式近似
　問題1

2．ヒルベルト空間
　2.1　プレ・ヒルベルト空間
　2.2　ヒルベルト空間
　2.3　直交，射影定理
　2.4　正規直交系
　2.5　完全正規直交系の例（フーリエ級数）
　2.6　シュミットの直交化
　2.7　プレ・ヒルベルト空間の完備化
　問題2

3．線形作用素
　3.1　線形作用素
　3.2　有界作用素の例
　3.3　逆作用素
　3.4　閉作用素
　問題3

4．一様有界性の原理と閉グラフ定理
　4.1　ベールのカテゴリー定理
　4.2　一様有界性の原理
　4.3　開写像の定理
　付録4.1　至る所微分不可能な連続関数
　付録4.2　少なくとも１点で，そのフーリエ級数が収束しない連続関数の存在
　問題4

5．線形汎関数とハーン・バナッハの定理
　5.1　線形汎関数と共役空間
　5.2　ハーン・バナッハの定理
　5.3　分離定理
　5.4　第２共役空間
　5.5　弱収束
　5.6　共役作用素
　付録5.1　ラックス・ミルグラムの定理
　付録5.2　ツォルンの補題
　付録5.3　軟化作用素
　問題5

6．レゾルベントとスペクトル
　6.1　スペクトル
　問題6

7　コンパクト作用素
　7.1　背景
　7.2　コンパクト作用素
　7.3　ヒルベルト空間におけるコンパクト作用素の固有関数展開
　7.4　リースの理論とリース・シャウダーの交代定理
　問題7