目次

0．集合についての予備知識
　0.0　基本的記号
　0.1　写像
　0.2　順序集合
　0.3　類別と同値律

1．群，環，体
　1.1　群
　1.2　正規部分群と準同型
　1.3　環と体
　1.4　整域と素イデアル
　1.5　多項式環
　1.6　素元分解の一意性
　1.7　加群
　1.8　対称式と交代式
　問題

2．有限次代数拡大体
　2.1　基本概念
　2.2　分解体
　2.3　分離的と非分離的
　2.4　有限体の乗法群
　2.5　単純拡大
　2.6　正規拡大
　2.7　有限群の不変元
　2.8　Galoisの基本定理
　2.9　１のべき根，巡回拡大体
　2.10　方程式の可解性
　2.11　作図の可能性
　2.12　代数的閉体
　問題

3．超越拡大体
　3.1　超越基
　3.2　体の上のテンサー積
　3.3　微分作用素
　3.4　分離的拡大体
　3.5　正則拡大
　3.6　Noether環
　3.7　整拡大と素イデアル
　3.8　多項式環の正規化定理
　3.9　整閉包
　3.10　代数多様体
　3.11　Ci 条件
　3.12　Lürothの定理
　Appendix　付値環についての一定理とその応用
　問題

4．付値
　4.1　乗法付値
　4.2　有理数体の付値
　4.3　位相
　4.4　位相群，位相体
　4.5　完備化
　4.6　Archimedes付値と絶対値
　4.7　加法付値と付値環
　4.8　近似定理
　4.9　付値の拡張
　4.10　積公式
　4.11　Henselの補題
　問題

5．実体
　5.1　順序体，実体，実閉体
　5.2　実閉包
　5.3　Hilbertの第十七問題
　5.4　順序に対応する付値
　問題

6．無限次代数拡大体のGalois理論
　6.1　Galois群の位相
　6.2　Galoisの基本定理
　6.3　分解体，惰性体，分岐体
　6.4　高次方程式
　問題