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新装版 ルベーグ積分入門

使うための理論と演習

著:吉田伸生

紙版

内容紹介

最小限の準備でルベーグ積分を使えるよう解説。具体的な応用例でその威力を体感でき、豊富な練習問題で自習書としても最適。

目次

0 序
0.1 数に関する記号
0.2 論理・集合・写像に関する記号
0.3 リーマン積分からルべーグ積分へ

1 σ-加法族と測度
1.1 σ-加法族
1.2 ボレル集合体
1.3 測度
1.4 ボレル集合体上のルベーグ測度・スティルチェス測度
1.5 測度零集合

2 積分の定義と収束定理
2.1 可測関数
2.2 可測関数の演算と極限
2.3 積分の定義
2.4 収束定理
2.5 径数付き積分の微分

3 ルベーグ測度
3.1 測度の完備化
3.2 ルベーグ測度
3.3 リーマン積分との関係

4 測度の存在と一意性
4.1 二つの測度が一致するための条件
4.2 半加法族と拡張定理
4.3 (*) 外測度
4.4 (*) 拡張定理(存在部分)の証明
4.5 (*) 完備化と外測度

5 フビニの定理
5.1 積可測空間
5.2 積測度
5.3 フビニの定理
5.4 完備化に対するフビニの定理
5.5 変数変換公式とその応用

6 L^p-空間
6.1 L^p-空間
6.2 L^p-空間の完備性
6.3 測度収束

7 実解析の基本的道具
7.1 合成積
7.2 R^d上の測度の位相正則性
7.3 C^∞-関数のL^p-稠密性
7.4 軟化子
7.5 多項式近似定理

8 フーリエ級数・フーリエ変換
8.1 フーリエ級数
8.2 三角関数によるフーリエ級数
8.3 L^1(R^d) に対するフーリエ変換
8.4 L^2(R^d) に対するフーリエ変換

9 複素測度と有界変動関数
9.1 複素測度とその変動
9.2 ジョルダン分解
9.3 (符号付き)スティルチェス測度

10 複素測度と有界変動関数の微分
10.1 ラドン{ニコディムの定理
10.2 (*) L^pの双対空間
10.3 絶対連続性の特徴づけ
10.4 一般化された微積分の基本公式
10.5 (*) 複素測度の微分

11 付録
11.1 集合の濃度
11.2 ユークリッド空間の位相
11.3 連続関数・滑らかな関数の拡張
11.4 距離空間上の測度の位相正則性
11.5 双対空間とリースの表現定理

著者略歴

著:吉田伸生
名古屋大学大学院多元数理科学研究科教授

ISBN:9784535789418
出版社:日本評論社
判型:A5
ページ数:288ページ
定価:3600円(本体)
発行年月日:2021年03月
発売日:2021年03月15日
国際分類コード【Thema(シーマ)】 1:PBK