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本書は、可換環論を用いて特異点論を解説すること、及び、代数幾何的な対象を通じて可換環論に饒かな研究対象をもたらすことを目的とした書籍である。

特異点論は、代数幾何学の局所理論であると同時に、可換環論の局所理論でもある。
代数幾何学で或る対象を記述することは、多くの場合にあまり容易ではないが、ひとたび代数的な表現で記述ができると、可換環論を用いることによって種々の性質を精確に表現できる。一方、可換環論はそれ単体で多くの例を与えることは難しいが、代数幾何的な手法を導入することで、立ち所に非常に多くの例をもたらすことが出来るようになる。

特異点論の研究には、多分野からのアプローチ方法があるが、本書では特に「可換環論と代数幾何を組み合わせた手法」を基軸とし、次元付き環論や圏論・層論などといった必要な知識も随時導入しながら詳しく解説する。

第1章　特異点論のための代数幾何入門
1. アフィンスペクトラムとアフィンスキーム
1.1 アフィンスペクトラムSpce(R)
1.2 Hilbertの零点定理
1.3 アフィン座標系と写像
1.4 アフィンスキームSpce(R)
1.5 アフィンスキーム上の層~M
2. スキーム
2.1 スキームの定義
2.2 ファイバー積の存在
2.3 準連接層
2.4 閉部分スキーム
2.5 スキーム間の射
2.6 連接層
2.7 ファイバー積の性質と応用
2.8 分離射と分離スキーム
2.9 準連接層の順像と高次順像
3. 射影スペクトラムと射影スキーム
3.1 射影スペクトラムProj(R)
3.2 Proj(R)上の連接層
3.3 豊富な可逆層
3.4 射影スキームの積とSegre積

第2章　交点理論
1. Cartier因子
2. 曲面上の交点理論
2.1 局所自由加群の次数
2.2 曲面上の交点理論と因子加群の次数
3. Hilbert多項式
4. 一般次元の交点数

第3章　正規次数付き環と正規射影多様体
1. 正規多様体，正規環の因子群，因子類群
2. ブローアップ（爆発）
2.1 付録．イデアルの節減，重複度と整閉イデアル
3. Proj(R)のコホモロジーとRの局所コホモロジー
4. Serre双対定理と正準因子，随伴公式
5. 次数付きブローアップと正規次数付き環の構成
6. Gorenstein性と因子群，UFD
7. トーリック幾何概観
7.1 トーリック環（または正規半群環）
7.2 扇とトーリック多様体
7.3 トーリック多様体の射
7.4 2次元正規トーリック環の特異点解消

第4章　曲線の特異点
1. 1次元の特異点論の概観
2. 平面曲線の特異点と特異点解消
3. 既約平面曲線のPuiseux級数
4. 1次元特異点の値半群．半群環とその周辺
5. 曲線のRiemann-Rochの定理

第5章　2次元正規特異点
1. 特異点解消と双対グラフ，交点行列
2. 特異点解消のRiemann-Rochの定理
3. 幾何種数と算術種数，有理特異点，楕円型特異点
4. 有理特異点の性質 —反ネフサイクルと整閉イデアルの対応
4.1 有理2重点の分類
4.2 整閉イデアルの一意分解定理
5. 単純楕円型特異点，最小楕円型特異点
6. 2次元正規次数付き環の特異点解消と星形グラフ
7. 有理特異点と因子類群Cl(A)
7.1 Cl(A)とPic(X)の関係
7.2 AがHensel環の場合
7.3 Pic(X)とH1(X, OX)の関係 ― Artinの方法
7.4 有理特異点の場合
8. 孤立特異点を持った2次元次数付き超曲面の分類
8.1 α= 1の場合の分類
8.2 α= 2の場合の分類
9. 2次元正則局所環の整閉イデアルの対数的解消と既約平面曲線の値半群
9.1 単純整閉イデアルと既約曲線
9.2 単項式で生成される整閉イデアルの対数的解消
9.3 平面曲線の値半群
9.4 Puiseux級数からの特異点の解消，半群の決定

第6章　高次元の特異点，有理特異点
1. 有理特異点
2. 食い違い係数と端末特異点，log端末特異点
3. 正標数の手法の概観
3.1 密着閉包とF有理環
3.2 F有理環と擬有理環，Smithの定理
3.3 Frobenius写像の分裂で定義される特異点

付録A 圏論入門
1. 圏論の基礎
1.1 圏の定義
1.2 圏の対象の同型関係
1.3 関手
1.4 自然変換
1.5 圏の同型と同値
1.6 関手の像と埋め込み
1.7 hom関手と米田の埋め込み定理
1.8 モノ射，エピ射，逆射
1.9 始対象，終対象，零対象
1.10 直積と直和
1.11 ファイバー積，ファイバー和
2. アーベル圏とMitchell の埋め込み定理
2.1 加法圏
2.2 アーベル圏
2.3 完全列
2.4 完全関手と埋め込み定理
3. アーベル圏におけるコホモロジー理論
3.1 双対鎖複体
3.2 入射分解
3.3 反変関手の導来関手
4. Ext関手と拡大
4.1 アーベル圏におけるファイバー積，ファイバー和の性質
4.2 Ext1と拡大
4.3 高次導来関手Extnと多重拡大

付録B　層論の基礎と層コホモロジー
1. 前層と層
1.1 前層
1.2 層
1.3 層と射の性質
1.4 前層の層化
1.5 開基底からの拡張定理
1.6 層の順像，引き戻し
2. 加群の層
2.1 環付き空間
2.2 OX加群の層
3. 層コホモロジー
3.1 圏(OX-Mod)上の導来関手
3.2 米田構造積
4. Čechコホモロジー
4.1 Čech複体とコホモロジー
4.2 入射層，脆弱層，非輪状層
4.3 Čechコホモロジーと層コホモロジーの関係
4.4 スキーム上のČechコホモロジー
4.5 開被覆の細分
4.6 Pic(X)
5. Grothendieckスペクトル系列と層コホモロジーへの応用

付録C 位相空間論から
1. 既約性
2. 直積位相とHausdorff性
3. ネーター空間

付録D 可換環論のまとめ
1. ネーター環，Artin環，加群
2. 完備化，完備局所環の構造定理
3. 環の次元，随伴素イデアル，イデアルの準素分解
4. 付値環，DVR，整拡大，正規環
5. 射影加群，入射加群，射影分解，入射分解
6. 平坦加群，平坦射
7. Cohen-Macaulay(CM)環，Gorenstein環，正準加群
8. 局所コホモロジー，双対複体，双対定理
9. 次数付き環
10. Hilbert関数とPoincare級数，重複度

参考文献
記号索引／用語索引