共立講座 数学の輝き 14
リー群のユニタリ表現論
著：平井 武
他編：新井 仁之
他編：小林 俊行
内容紹介
本書は、群の表現論について最短距離で核心部分に触れることを目的とした書籍である。
全体は4部構成となっている。まず第I部では、初心者に向けてリー群の表現論に関する最低限の準備を行なう。第II部では、3次元回転群やその普遍被覆群SU(2)を例に、n次回転群SO(n) (n≥3)の表現（特にその指標理論）と付随する無限次元擬(g,K)-加群について解説する。第III部では、n次Lorentz群SO(n−1,1)の表現とそれに付随する無限次元(g,K)-加群を中心に解説する。第IV部では、n次Lorentz群の既約表現と既約指標の決定に関する解説を行う。その後、拡大Gelfand-Tsetlin公式を応用してLorentz群SO0(n−1,1)およびその普遍被覆群Spin(n−1,1)のPlancherel型公式を学び、最後に負の定曲率空間上の測地流のスペクトル型がσ-Lebesguesであることを証明する。
本書の特筆すべき点として、複素回転群SO(n,C)のコンパクト実形であるn次回転群SO(n)の表現論から、別の実形n次Lorentz群SO0(n−1,1)の表現論へと、Gelfand-Tsetlin公式とその無限次元の拡張を通して”空中移行”できることを示したことである。本書の解説を通じて、それらが恰も背中合わせのように存在していることを解説する。
目次
序文
第1章 Lie群とLie環の基礎
1.1 滑らかな多様体（C∞多様体）
1.2 いくつかの行列群
1.3 Lie群とそのLie環，線形Lie群と指数写像・対数写像
1.4 Gの1径数部分群とGのLie環
1.5 Lie環gの展開環とLie群上の微分作用素
1.6 群上の不変測度
第2章 群の表現の基礎
2.1 位相群の線形表現とは
2.2 有限次元表現について
2.3 コンパクト群の表現
2.4 誘導表現
2.5 [G:H]=2の場合の誘導表現
2.6 Frobeniusの相互律
2.7 表現空間の可微分ベクトル
第3章 回転群SO(n)の表現論
3.1 SO(n)の普遍被覆群Spin(n)
3.2 Lie環so(n),so(n,C)の構造
3.3 Weylの積分公式
3.4 既約指標の分類と決定
3.5 SO(n)↓SO(n−1)の分岐律
3.6 Laplace作用素とその固有値，表現の無限小指標
3.7 Gelfand-Tsetlinの微分表現公式
3.8 有理関数の対称和に対する恒等式
第4章 g=so(n), K=SO(n−1)に対する無限次元擬(g,K)-加群
4.1 G-T公式から生ずるLie環so(n)の無限次元表現
4.2 無限次元擬(g,K)-加群の性質
第5章 n次Lorentz群の構造
5.1 n次Lorentz群とは
5.2 Lorentz群Ln:=SO0(n−1,1)の構造
5.3 Lnの第2標準形，第3標準形，Cartan部分群の対角化
第6章 n次Lorentz群の基本的表現
6.1 Lnの有界線形表現の構成と擬不変測度
6.2 Lnのユニタリ主系列表現
6.3 主系列表現に対応する(g,K)-加群
6.4 共役表現とHermite不変内積
6.5 L∼nのユニタリ補系列表現
6.6 離散系列の既約ユニタリ表現の存在・不存在（一般論）
6.7 有限次元既約表現の主系列表現への埋め込みと無限小指標
6.8 非ユニタリ主系列表現の超重要な役割（部分商定理）
第7章 3次元，4次元Lorentz群の場合
7.1 2重被覆群SL(2,R)の場合
7.2 SU(1,1)の（非ユニタリ）主系列表現の(g,K)-加群
7.3 4次元Lorentz群の普遍被覆群SL(2,C)の場合
7.4 (g,K)-加群とL∼4の双対空間
第8章 一般Lorentz群の標準(g,K)-加群
8.1 基本的事実のまとめ
8.2 代数的に定義される標準的(g,K)-加群
8.3 gのNU型標準表現Skα;cの反傾表現，共役表現，可約点
8.4 標準NU型表現S0α;cの不変Hermite内積について
8.5 主系列表現・補系列表現の無限小解析
8.6 U 型標準g表現Suα;cによる既約(g,K)-加群の決定
8.7 ユニタリ化可能既約(g,K)-加群の分類
8.8 無限次元NU 型標準(g,K)-加群の構造と相関関係
8.9 無限次元NU 型標準(g,K)-加群S1α;c, k=1の構造と相関関係
第9章 指標の理論と計算（その1）
9.1 指標の一般論
9.2 半単純Lie群の表現の指標
9.3 不変固有超関数と不変積分Khφ
9.4 半単純Lie群の（非ユニタリ）主系列表現の指標
9.5 Lorentz群の非ユニタリ主系列表現の指標と無限小指標
9.6 有限次元既約表現とその指標・無限小指標
第10章 一般Lorentz群L∼nの既約表現
10.1 標準的NU型(g,K)-加群と非ユニタリ主系列表現
10.2 gの無限次元行列表現S8α;c≅dΠ´α;cとSkα;cの一致・不一致
10.3 有限次元既約表現の主系列表現Π´α;cへの埋め込み
10.4 gn=so(n), g=so(n−1,1)の各種表現の相互関係
10.5 一般Lorentz群の既約表現の分類と主系列表現の構造
10.6 緩増加既約表現について
第11章 指標の理論と計算（その2）
11.1 n−2r+2における既約指標の計算
11.2 n−2r+3.非コンパクトCartan部分群上の指標値
11.3 コンパクトCartan部分群上の指標値とK-スペクトル
11.4 Lorentz群L∼nのコンパクトCartan部分群上の指標
第12章 既約表現の分類と指標公式の応用
12.1 Plancherel型定理の一般的展望とLorentz群
12.2 Lorentz群のPlancherel型定理
第13章 既約ユニタリ表現のU型Gelfand-Tsetlin公式の応用
13.1 負定曲率多様体m上の測地流
13.2 完備な負定曲率多様体上の測地流のスペクトル
付録 誇大妄想といくつかの予想
A.1 誇大妄想2021aといくつかの予想
A.2 BDI以外の型に関する誇大妄想といくつかの予想
解説 堀田良之
ISBN：9784320112087
。出版社：共立出版
。判型：A5
。ページ数：504ページ
。定価：6000円（本体）
。発行年月日：2022年12月
。発売日：2022年12月23日
。国際分類コード【Thema（シーマ）】 １：PBF。
