集合・位相・圏

KS理工学専門書

数学の言葉への最短コース

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オーディオブック

著：原　啓介

出版社：講談社

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内容紹介

集合と位相がよくわからない！という人のために、集合と位相の言葉（論理）の使い方に慣れることを目標とした。さらに最近話題の圏論を入門的に解説する。
読めば読むほど味が出る数学スルメ本！

（本書のまえがき）
数学を専門としない人が数学の専門家に質問や相談をすると，「それは何の上で定義されているのか」，「それはどこからどこへの関数なのか」としきりに尋ね返される．それは無意味に厳密だったり，些末なことにこだわっているのではない．ましてや，知識を誇ろうとしているのでもない．ただ，数学の言葉を話し，数学の言葉で考えようとしているのである．そして，その言葉とは「集合」と「写像」のことである．
本書では，数学の非専門家を対象に，いわゆる「集合と位相」，つまり，数学の言葉としての「集合」と「写像」および，その重要な性質である「位相」の基礎概念を解説する．さらに，新たに数学の言葉の仲間入りをしつつあり，分野によっては既に不可欠なものになった「圏」の概念についても，集合と写像をベースにその初歩の解説を行う．
さて，このような数学の言葉であり基礎でもある「集合と位相」を学習する場合に問題になることが2 つある．1 つは厳密さの程度の問題である．集合とは何かをつきつめれば，数学とは何か，という問題にまで到達せざるを得ない．しかし一方で，数学の非専門家はもちろん，専門家を目指す人にすら，数学の論理的根底から学ぶことは効率が良い方法とは言えない．おそらく正しい態度は，「あらゆることがらにおいて同じように厳密性を求めることをせず，それぞれの場合においてその素材に応じまたその研究に固有な程度においてする」ことだろう．そこで，本書において目指した厳密さの程度は，確固たる足がかりを感じられる程度の深さである．無論，これを言うは易しく，行うのは非常に難しい．そして，もう1 つの問題は，「集合と位相」の学習にdiciplineの意味があることである．「数学をする」とか「数学がわかる」とはどういうことかを学ぶ．

第0章　集合，位相，圏のこころ
第1章　集合
第2章　論理と集合
第3章　写像
第4章　集合の構造
第5章　R とその間の関数　位相への道程
第6章　距離空間　位相への道程2
第7章　位相
第8章　圏

第0章　集合，位相，圏のこころ

0.1　集合　「もの」の集まり
0.2　位相　「近づいていく」とは
0.3　圏| 「写像の代数」という見方

第1章　集合

1.1　集合とは　素朴な定義
1.2　包含関係
1.3　集合の演算

第2章　論理と集合

2.1　命題
2.2　全称命題と存在命題
2.3　集合の公理，選択公理，その他

第3章　写像

3.1　写像
3.2　全射と単射
3.3　写像の代数　圏の考え方へのイントロ

第4章　集合の構造

4.1　集合の色々な構造
4.2　直積と商集合
4.3　集合の構造と写像　圏の考え方へのイントロ2

第5章　R とその間の関数　位相への道程

5.1　実数と実数列の極限
5.2　実数の部分集合
5.3　実数上の関数

第6章　距離空間　位相への道程2

6.1　距離空間の部分集合
6.2　距離空間の点列
6.3　距離空間のコンパクト性

第7章　位相

7.1　位相空間
7.2　コンパクト性と連続性
7.3　分離性と連結性

第8章　圏

8.1　圏とその基礎的概念
8.2　特別な対象と射
8.3　より高度な概念