まえがき
学習の手引き
第１章 偏微分方程式の基礎
§1.1 基礎概念
(a) 偏微分方程式とは
(b) 線形方程式と非線形方程式
(c) 偏微分方程式の‘型’
§1.2 偏微分方程式の導出例
(a) 関数の不変性と偏微分方程式
(b) 包絡面の方程式
(c) 酔歩の極限としての拡散現象
(d) 1次元弾性体における疎密波
(e) 変分問題から導かれる偏微分方程式
§1.3 簡単な偏微分方程式の解法
(a) 定数係数1階方程式
(b) 簡単な2階方程式
§1.4 初期値問題と境界値問題
(a) 初期値問題
(b) 境界値問題
(c) 初期境界値問題
(d) 初期値問題の適切性
§1.5 フーリエの方法
(a) フーリエ級数の発見
(b) フーリエ級数
(c) フーリエ級数の収束
(d) 初期境界値問題
§1.6 1階偏微分方程式の一般論
(a) 線形方程式と特性曲線
(b) 半線形の場合
(c) 初期値問題
(d) 準線形方程式
まとめ
演習問題
第２章 熱伝導と拡散
§2.1 方程式の導出
(a) 熱伝導方程式
(b) 高次元の熱伝導方程式
(c) 拡散方程式
(d) 初期条件と境界条件
§2.2 基本解
(a) δ関数
(b) 基本解の定義
(c) 自己相似性を利用した基本解の計算
(d) 初期境界値問題の基本解
§2.3 初期値問題と初期境界値問題
(a) 初期値問題
(b) 初期境界値問題
(c) 非斉次方程式
(d) 平滑化作用
§2.4 最大値原理とその応用
(a) 最大値原理
(b) 比較定理
(c) 初期境界値問題の解の一意性
まとめ
演習問題
第３章 ラプラスの方程式とポアソンの方程式
§3.1 ラプラスの方程式とその背景
(a) ラプラスの方程式と調和関数
(b) ベクトル場のポテンシャル
(c) コーシー－リーマンの方程式
(d) 流体の運動とラプラスの方程式
(e) 重力ポテンシャルと静電ポテンシャル
§3.2 極座標による表現
(a) ラプラス演算子の極座標表示
(b) 球面調和関数
§3.3 調和関数の性質
(a) 劣調和関数と優調和関数
(b) 最大値原理
(c) 球面平均の定理
(d) 広義の劣調和関数
(e) 等角写像とケルヴィン変換
§3.4 ポアソンの方程式
(a) ラプラス演算子の基本解
(b) グリーンの定理
(c) 対数ポテンシャルとニュートン・ポテンシャル
§3.5 境界値問題
(a) ディリクレ問題とノイマン問題
(b) グリーン関数
(c) 鏡像原理とポアソンの公式
(d) 除去可能な特異点
§3.6 固有値問題
(a) 矩形領域の場合
(b) 円板領域の場合
まとめ
演習問題
第４章 波と振動の方程式
§4.1 波動方程式の初期値問題
(a) 1次元波動方程式
(b) 3次元波動方程式とホイヘンスの原理
(c) 2次元波動方程式
(d) 基本解
(e) 平面波と球面波
(f) 依存領域
(g) 非斉次方程式
§4.2 境界のある領域上の波動方程式
(a) 境界条件
(b) 半無限区間上の波動方程式
(c) 基本解
(d) 依存領域と解のエネルギー
(e) 固有振動への分解
§4.3 分散性の波と非分散性の波
まとめ
演習問題
第５章 超関数と広義解
§5.1 テスト関数と観測値
§5.2 連続関数の導関数
§5.3 R上の超関数
§5.4 多変数の場合
§5.5 微分方程式の広義解
(a) ポアソンの方程式の広義解
(b) 波動方程式の広義解
(c) 衝撃波と広義解
まとめ
演習問題
付録Ａ 2階偏微分方程式の分類
§A.1 2階線形方程式の分類
§A.2 非線形偏微分方程式の型
§A.3 複数の型が混在する方程式
付録Ｂ フーリエ変換
§B.1 無限区間への移行
§B.2 基本的な性質
§B.3 初期値問題への応用
付録Ｃ ラプラス－ベルトラミ作用素
§C.1 曲面上の関数の勾配
§C.2 ラプラス－ベルトラミ作用素
§C.3 ラプラシアンの球座標表示
現代数学への展望
参考書
問解答
演習問題解答
索 引
