まえがき
１ 対称性と機械学習への誘い
1. 1 対称性とは
1. 2 対称性と幾何
1. 3 対称性と物理法則
1. 4 関数と対称性
1. 5 機械学習における入力に対する不変性の例
コラム 1. 1 連続的に変化する入力に対する予測タスクに不変性が求められる
コラム 1. 2 完全ではないが対称性が一部成り立つ現実のデータを扱う
1. 6 同変性
1. 7 変換情報の保持と対称性
1. 8 無限の変換をどのように扱うのか
1. 9 群・表現
1. 10 作用と表現
1. 11 位相群とリー群
1. 12 機械学習とは
1. 13 帰納バイアス
1. 14 データオーグメンテーション
1. 15 もつれを解いた表現と対称性
1. 16 各章の構成
第1章のまとめ
２ 群・表現論
2. 1 群の導入
2. 2 同型写像・準同型写像
2. 3 部分群
2. 4 剰余類
2. 5 正規部分群・商群
2. 6 作用
2. 7 作用の例
2. 8 群の表現
2. 9 リー群
2. 9. 1 滑らかな群と線形代数
2. 9. 2 指数写像
2. 9. 3 リー群
コラム 2. 1 ロドリゲスの回転公式
2. 10 リー代数
2. 10. 1 リー代数
2. 10. 2 リー群とリー代数の関係
2. 10. 3 曲線上の指数写像
2. 10. 4 リー群の準同型写像
第2章のまとめ
３ 対称性を備えた関数
3. 1 対称性を備えた関数
3. 2 ニューラルネットワークとは
3. 3 ニューラルネットワークへの対称性の導入
3. 4 G不変な仮説空間
3. 5 軌道・軌道集合
3. 6 軌道集合を用いた仮説空間
3. 7 商仮説空間
3. 8 等質空間
3. 9 安定部分群
3. 10 等質空間と商空間
3. 11 写像の持ち上げと射影
3. 12 畳み込みと群畳み込み
3. 13 群畳み込みは同変性を備える
3. 14 等質空間の同変性
3. 15 特徴マップ
3. 16 一般化群畳み込み演算
3. 17 一般化群畳み込みの問題点
第3章のまとめ
４ 対称性を備えたニューラルネットワーク
4. 1 並進群の特徴マップ上での作用
4. 2 並進同変と畳み込みの同値性
4. 3 畳み込みニューラルネットワーク
4. 3. 1 並進同変であるバイアス加算
4. 3. 2 並進同変である要素ごとの非線形活性化関数
4. 4 アフィン群同変な畳み込みニューラルネットワーク
4. 5 アフィン群による作用
4. 6 アフィン群の表現
4. 7 積み重ねられた特徴マップ
4. 8 アフィン群同変ニューラルネットワーク
4. 9 アフィン群同変であるバイアス加算や非線形活性化関数
4. 10 G同変写像の求め方
第4章のまとめ
５ リー群に同変な関数の設計
5. 1 対称性をもつ関数の設計
5. 2 群の分解
5. 3 リー群の単位元成分の生成
5. 4 リー群の単位元成分による剰余類分解
5. 5 誘導された群作用
5. 6 リー代数の作用
5. 7 リー微分
5. 8 安定化群のリー代数の特徴づけ
5. 9 リー群に対し同変となる必要十分条件
5. 10 線形層での同変性導入
5. 11 実際の数値計算
5. 12 制約の構造を使った効率的な計算手法
5. 13 クリロフ法を使った核の効率的な推定方法
5. 14 特徴マップ間の同変な線形写像
5. 15 力学系における対称性と保存則
5. 16 対称性の促進
5. 17 対称性の促進：離散群の場合
5. 18 対称性の促進：連続群の場合
第5章のまとめ
６ クリフォード代数にもとづく対称性
6. 1 クリフォード代数
6. 2 幾何積
6. 3 グレード・ブレード・マルチベクトル
6. 4 グレード射影
6. 5 幾何積による内積とウェッジ積の統一
6. 6 マルチベクトルがもつ幾何的な意味
6. 7 マルチベクトルと幾何
6. 8 双対化演算
6. 9 Pin群，Spin群
6. 10 バーサーによる作用
6. 11 射影幾何代数
6. 12 代数幾何におけるユークリッド同変写像
第6章のまとめ
Appendix
Ａ 群・表現論の補足情報
A. 1 準同型定理
A. 2 群作用の全単射性
A. 3 正則表現
A. 4 正則表現の分解
A. 5 交絡作用素
A. 6 部分表現，既約表現
Ｂ 行列とベクトル操作について
参考文献
索 引
