出版書誌データベース

本書は、現代代数学の主要な一角への統一的なアプローチによる入門書である。 前半では、代数学を構成する群、環、ベクトル空間、体といった代数的構造の解説を短く区切って繰り返し見ていくことで、それらの間の類似性を認識し、構造を保つ写像の重要性を学ぶことができる。これらの主題に初めて出会う読者にも内容が把握しやすくなるよう工夫されている。 後半は群、環、ベクトル空間、体の4つの主題をより深く掘り下げ、加えて、加群やガロア理論を調べることにも当てられる。最終章では、関連する数学の基礎分野のほか、より専門的な主題や数理暗号のような応用分野までを縦横に解説しており、代数学の広大な世界への案内となっている。 楕円曲線論をはじめ数論の広い分野で活躍する原著者の自由闊達な語り口も本書の魅力である。さまざまな代数的構造をめぐりながら、それらがどのように組み合わさって代数学を形作るかについての広い視野を得られるだろう。

序文/第1章　予備的な話題のポプリ/1.1 定義，公理，そして証明とは何だろうか？/1.2 生活の指針とすべき数学的信条/1.3 数理論理学と証明の技巧をほんの少し/1.4 集合論をほんの少し/1.5 関数/1.6 同値関係/1.7 数学的帰納法/1.8 数論をほんの少し/1.9 組合せ論をほんの少し/演習問題/第2章　群――第1部/2.1 群への導入/2.2 抽象群/2.3 群のおもしろい例/2.4 群準同型写像/2.5 部分群，剰余類，ラグランジュの定理/2.6 群の積/演習問題/第3章　環――第1部/3.1 環への導入/3.2 抽象的な環と環準同型写像/3.3 環のおもしろい例/3.4 重要で特別な環/3.5 単元群と環の積/3.6 イデアルと剰余環/3.7 素イデアルと極大イデアル/演習問題/第4章　ベクトル空間――第1部/4.1 ベクトル空間への導入/4.2 ベクトル空間と線形変換/4.3 ベクトル空間のおもしろい例/4.4 基底と次元/演習問題/第5章　体――第1部/5.1 体への導入/5.2 抽象的な体と準同型写像/5.3 体のおもしろい例/5.4 部分体と拡大体/5.5 多項式環/5.6 拡大体の構成/5.7 有限体/演習問題/第6章　群――第2部/6.1 正規部分群と剰余群/6.2 集合への群作用/6.3 軌道固定部分群の数え上げ定理/6.4 シローの定理/6.5 2つの数え上げ補題/6.6 両側剰余類とシローの定理/演習問題/第7章　環――第2部/7.1 既約元と一意分解整域/7.2 ユークリッド整域と単項イデアル整域/7.3 単項イデアル整域での因子分解/7.4 中国の剰余定理/7.5 分数体/7.6 多変数多項式と対称式/演習問題/第8章　体――第2部/8.1 代数的数と超越数/8.2 多項式の根と乗法的な部分群/8.3 分解体，分離性，既約性/8.4 有限体再訪/8.5 ガウスの補題とアイゼンシュタインの既約性判定法/8.6 定規とコンパスによる作図/演習問題/第9章　ガロア理論：体＋群/9.1 ガロア理論とは何か？/9.2 多項式と体の拡大の復習/9.3 代数的数の体/9.4 代数閉体/9.5 体の自己同型写像/9.6 分解体――第1部/9.7 分解体――第2部/9.8 原始元定理/9.9 ガロア拡大/9.10 ガロア理論の基本定理/ほか