論理と集合
数学を理解するための基礎
著：辻 一夫
内容紹介
高校数学と大学数学の間にあるといわれる大きなギャップとは、何だろうか。著者は自分の体験から理数系学部で学ぶ数学のベースにある最も重要な考え方は、論理学とそこから導かれた集合論にあると考えた。高校ではていねいに教えられず、大学では既習のこととして詳細な議論を省くことが多いのではないか。
こんな思いから高校数学を学んだ理数系志望の学生ならじゅうぶんに読みこなせる「論理と集合」の解説書がうまれた。
本書はれっきとした数学の本である。術語や記号をていねいに定義し、例示・例題により理解を補い、簡潔で汎用性の高い定理へと導いてくれる。大学では演習問題として片づけられることが多い定理の証明も、本書ではじつに細かく示される。
基本的に「定義」と「定理」を厳格に積み重ねていく構成であるが、堅苦しさはない。大学数学の論理にちょっと抵抗を感じたら、本書が程よい道しるべになってくれるであろう。
目次
第１部 論理
第１章 命題論理
§1－１ 命題と真理値………………………………………7
§1－２ 論理同値…………………………………………10
§1－３ 論理記号…………………………………………11
§1－４ 命題論理で成り立つ法則………………………15
§1－５ ド・モルガンの法則……………………………21
§1－６ 恒真命題と恒偽命題……………………………23
§1－７ 含意………………………………………………25
§1－８ 演繹と同値………………………………………38
第２章 述語論理
§2－１ 述語とは何か……………………………………43
§2－２ 全称命題…………………………………………47
§2－３ 存在命題…………………………………………52
§2－４ 全称と存在が混在する命題……………………57
§2－５ 全称命題と存在命題の否定……………………61
§2－６ 述語論理の事例…………………………………64
第３章 証明の方法
§3－１ 演繹による３つの証明方法……………………73
§3－２ 証明法の根拠……………………………………74
§3－３ 証明の具体的事例………………………………76
第２部 集合
第４章 集合の基礎
§4－１ 集合の用語……………………………………81
§4－２ 集合の表し方…………………………………84
§4－３ 集合の同等……………………………………86
§4－４ 部分集合………………………………………89
第５章 集合の演算
§5－１ 合併集合………………………………………92
§5－２ 交差集合………………………………………95
§5－３ 差集合…………………………………………99
§5－４ 普遍集合………………………………………101
§5－５ 補集合…………………………………………102
§5－６ 直積集合………………………………………107
§5－７ 巾集合…………………………………………112
§5－８ まとめ…………………………………………114
第３部 集合上の関係
第６章 関係
§6－１ 関係とは………………………………………116
§6－２ 二項関係………………………………………120
§6－３ 同値関係………………………………………124
§6－４ 類別……………………………………………129
§6－５ 同値類…………………………………………第７章 写像と関数
§7－１ 写像とは……………………………………135
§7－２ 写像のグラフ………………………………145
§7－３ 写像の種類…………………………………148
§7－４ 合成写像……………………………………154
§7－５ 逆写像………………………………………159
§7－６ 単射と全射の双対性………………………160
§7－７ 全単射の性質………………………………161
§7－８ 集合の写像特性……………………………164
§7－９ 射影…………………………………………168
第８章 特性関数
§8－１ 写像の集合…………………………………170
§8－２ 特性関数……………………………………170
§8－３ 特性関数の性質……………………………174
§8－４ 元の個数と特性関数………………………178
第９章 順序
§9－１ 順序とは……………………………………181
§9－２ 順序関係と部分順序集合…………………190
§9－３ 全順序………………………………………191
§9－４ 最大元と最小元……………………………192
§9－５ 極大元と極小元……………………………194
§9－６ 上界と下界、および有界…………………196
§9－７ 上限と下限…………………………………197
