証明の読み方・考え方〔原著第6版〕
数学的思考過程への手引き
著：Daniel Solow
訳：西村 康一
訳：服部 久美子
内容紹介
論理的に整理された思考方法と証明技法を解説。
数学者が意識せず行っている証明のしかたを学べる。
証明は数学を支える土台で、それを築くのは論理的思考です。論理的思考は広い意味でいえば日常生活を送るうえでも必要であり、数学の学びにおいては必要不可欠な要素です。
さて、証明問題は論理的思考力を鍛えるよいトレーニングですが、みなさんも数学の証明問題を目の前にして、どこから手を付けてよいかわからず頭を抱えた経験があるのではないでしょうか。この本は、数学の本に書かれている証明を読んで理解し、自分で証明問題を解く手がかりを提供することを目標として、著者が論理的に整理した思考方法と証明技法を解説したものです。
著者は証明すべき問題をその中の「キーワード」に着目して分類します。そしてそれぞれの場合にどの証明技法が使えるか、そのためにはどのように証明を始め、進めていくのがよいか、という証明の考え方について明確な指針を与えてくれます。数学者が意識せず行っている証明のしかたを、整理し、見事に言語化しています。
数学を学ぶ学生や教師に限らず、数学に興味をもつ方々はみな、この本から有用な知見が得られるでしょう。数学の予備知識は2次方程式の解き方とピタゴラスの定理で十分です。
［原著］How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes, 6th Edition, Wiley, 2014.
（本邦訳では、Ch.15の末尾、Part II、Appendix B,Cおよび一部の練習問題を割愛）
目次
第1章 数学的に真理であるとはどういうことか
1.1 本書の意図
1.2 証明とは何か
練習問題
第2章 前進後退法
2.1 後退過程
2.2 前進過程
2.3 証明の読み方
練習問題
第3章 定義と数学用語について
3.1 定義
3.2 すでにある知識を使う
3.3 数学用語
練習問題
第4章 量化詞1：構成法
4.1 量化詞「存在する」の扱い方
4.2 構成法の使い方
4.3 証明の読み方
練習問題
第5章 量化詞2：抽出法
5.1 量化詞「すべての」の扱い方
5.2 抽出法を用いる
5.3 証明の読み方
練習問題
第6章 量化詞3：特殊化
6.1 特殊化の使い方
6.2 証明の読み方
練習問題
第7章 量化詞4：入れ子の量化詞
7.1 入れ子の量化詞を含む主張を理解する
7.2 入れ子の量化詞を含む主張の証明法
7.3 証明の読み方
練習問題
第8章 主張の否定をどう書くか
8.1 NOT, AND, ORを含む主張の否定の書き方
8.2 量化詞を含む主張の否定の書き方
8.3 反例
練習問題
第9章 背理法
9.1 別の証明法が必要な理由
9.2 背理法をいつどのように用いるか
9.3 背理法の他の使い方
9.4 証明の読み方
練習問題
第10章 対偶法
10.1 対偶法をいつどのように用いるか
10.2 対偶法と他の証明法の比較
10.3 証明の読み方
練習問題
第11章 一意性の証明法
11.1 前進一意法
11.2 後退一意法
練習問題
第12章 帰納法
12.1 帰納法の使い方
12.2 帰納法の変形版
12.3 証明の読み方
練習問題
第13章 二者択一法
13.1 場合分け法
13.2 部分否定法
13.3 証明の読み方
練習問題
第14章 最大最小の証明法
14.1 最大最小の証明法の使い方
14.2 証明の読み方
練習問題
第15章 まとめ
15.1 前進後退法
15.2 構成法
15.3 抽出法
15.4 特殊化
15.5 背理法
15.6 対偶法
15.7 一意性の証明法
15.8 帰納法
15.9 二者択一法
15.10 最大最小の証明法
練習問題
付録I 離散数学からの証明の例
I.1 集合論の例
I.2 関数についての例
付録II 実解析からの証明の例
II.1 実数に関する例
II.2 数列に関する例
練習問題の解答
数学記号表
参考文献
訳者あとがき
索引
