証明作法
論理の初歩から証明の実践へ
著：石原 哉
内容紹介
本書は、「よい証明はわかりやすい」、「よい証明を書きたかったらよい証明をたくさん読むべきである」をモットーとして、数学の授業でオンザジョブトレーニングで学ぶことの多い証明の書き方について解説する書籍である。
前半では、まず論理への導入を行い、それから自然演繹と呼ばれる形式化に基づいて、日本語表現に近い形で証明の構成法をできるだけ丁寧に説明し、述語についても述べる。証明の構造の理解が容易になるよう、プログラミングで用いる字下げを活用している。
後半では、前半で学んだことをベースとして、集合に関係する様々な問題に証明を与えていく。集合演算の基本的性質など、直観的に明らかな命題にも証明を与える。関係、写像、同値関係、順序について説明し、有向完備順序についても簡単に触れ、圏論で締めくくる。
大学で証明を必要とする学生のみでなく、証明の書き方を学びたいすべての人にとって大変重宝する書籍となろう。
目次
第I部 論理と証明
第1章 命題とは
1.1 命題と真理値
1.2 命題の構成
1.3 真理値表と恒真な命題
第2章 命題と証明(1)
2.1 仮定と結論
2.2 ∧の導入と除去
2.3 ∨の導入と除去
2.4 証明の例
第3章 命題と証明(2)
3.1 →の導入と除去
3.2 証明の合成
3.3 証明の例
第4章 否定と背理法
4.1 矛盾と否定
4.2 EFQと背理法
4.3 証明の例
第5章 述語と証明
5.1 述語とその構成
5.2 ∀の導入と除去
5.3 ∃の導入と除去
5.4 証明の例
第II部 証明の実践
第6章 集合とその構成(1)
6.1 等号と部分集合
6.2 対と空集合
6.3 合併集合
第7章 集合とその構成(2)
7.1 共通部分
7.2 直積集合
7.3 べき集合
7.4 差集合と補集合
第8章 関係
8.1 関係
8.2 関係の合成
第9章 写像
9.1 写像
9.2 族
第10章 同値関係と順序
10.1 2項関係と2項演算
10.2 同値関係
10.3 順序
10.4 有向完備順序集合
第11章 圏論への誘い
11.1 普遍性
11.2 集合の圏
11.3 トポス
