オイラーの難問に学ぶ微分方程式
著：高瀬 正仁
内容紹介
オイラーの解析学三部作の一つ，『積分計算教程』（全3巻）の内容は微分方程式の解法理論となっている．全体として今日の微分方程式論の原型が提示されているが，この中にはおびただしい数の微分方程式の実例が含まれている。その多くはオイラー自身が作成したもので，形状も複雑なうえに非常に難解なものも数多く含まれており，しかも詳細な解答を試みている。これらは単なる練習問題ではなく，一つ一つ個性があり，個々の具体例そのものが理論を語っている。
本書では，好評を博した『古典的難問に学ぶ微分積分』と同様の方針で，オイラーの難問を通して，微分方程式を解説していく。問題の趣旨を把握したうえで解答を読むことによって，他のテキストに載っているような微分方程式の問題を解く力を身につけることができる。さらに，微分方程式論という解析学の領域を構築しようとしたオイラーの心情にも迫り得る。
目次
序論 微分方程式とは何か
微積分の泉
積分計算
微分方程式とその解
微分方程式の分類
階数1の常微分方程式
偏微分方程式
解法の工夫の数々
積分計算におけるパラドックス
原石の宝庫
第I部 常微分方程式
第1章 変数変換の工夫と同次形の微分方程式
問題1.1（変数変換）dy + y dx = dx + x dx
問題1.2（リッカチの微分方程式．m = -2の場合）dz + z2 dx = (a dx/x2)
問題1.3（同次形の微分方程式）x dx + y dy = my dx
問題1.4（同次形の微分方程式）x dx + y dy = x dy - y dx
問題1.5（同次形の微分方程式）x dy - y dx = √(x2 + y2) dx
問題1.6（変数変換により同次形に変形される微分方程式）(α + βx + γy) dx = (δ + εx + ζy) dy
問題1.7（dy + Py dx = Q dx という形の微分方程式）dy + y dx = xn dx
問題1.8（dy + Py dx = Q dx という形の微分方程式）(1 - x2) dy + xy dx = a dx
問題1.9（dy + Py dx = Q dx という形の微分方程式）dy + (ny dx)/(√(1 + x2)) = a dx
問題1.10（変数変換の工夫）(y - x) dy = (n(1 + y2) √(1 + y2) dx)/(√(1 + x2))
第2章 リッカチの微分方程式
オイラーの2論文
問題2.1（リッカチの微分方程式）dy + y2 dx = axm dx
第3章 全微分方程式（2変数の場合）
全微分方程式の視点から
問題3.1 (αx + βy + γ) dx + (βx + δy + ε) dy = 0
問題3.2 dy/y = (x dy - y dx)/(y √(x2 + y2))
問題3.1と問題3.2の解法を顧みて
問題3.3 (a2 + 2xy + x2) dx + (x2 + y2 - a2) dy = 0
問題3.4（乗法子の探索）αy dx + βx dy = 0
問題3.5（乗法子の探索）(xy)/(x2 + y2) dx - dy = 0
問題3.6（問題1.6再論．乗法子の探索）(αx + βy + γ) dx + (δx + εy + ζ) dy = 0
問題3.7（問題1.10再論．乗法子の探索）(n(1 + y2) √(1 + y2) dx)/(√1 + x2) + (x - y) dy = 0
問題3.8（リッカチの微分方程式．m = -4の場合．再論．乗法子の探索）dy + y2 dx - (a dx)/(x4) = 0
第4章 非常に複雑な微分方程式
微分と微分の比を新たな変数と見る
問題4.1 x3 dx3 + dy3 = ax dx2dy
問題4.2 y dx - x√(dx2 + dy2) = 0
問題4.3 y dx - x dy = nx√(dx2 + dy2)
問題4.4 x dy3 + y dx3 = √(xy(dx2 + dy2)) dydx
問題4.5 s2 = 2xy (s = ∫√(dx2 + dy2))
問題4.6 s = αx + βy (s = ∫√(dx2 + dy2))
問題4.7 s2 = x2 + y2 (s = ∫√(dx2 + dy2))
問題4.8 y dx - x dy = a√(dx2 + dy2)
問題4.9 y dx - x dy = a 3√(dx3 + dy3)
問題4.10 (y - (x dy)/(dx))(y - (x dy)/(dx) + (2a dy)/(dx)) = c2
問題4.11 y dx - x dy + b dy = √(a2 ds2 - b2 dx2)
問題4.12 (y dx - x dy)(y dx - x dy + 2b dy) = c2 ds2
問題4.13 y dx - x dy = (a(dx2 + dy2))/(dx)
第5章 微分方程式の特異解
特異解（一般解に含まれない解）を語る．―オイラーの論文[E236]より
問題5.1 √(x2 + y2 - a2) dy = x dx + y dy
問題4.8再考
問題4.10再考
問題5.2（リッカチの微分方程式の特異解）dy + y2 dx - (a dx)/(x4) = 0
問題5.3 dy = √(y) dx
問題5.4 ay dy - ax dx = √(y2 - x2) dx
第6章 階数2の微分方程式
二つの変化量の間の2階微分方程式
問題6.1 a d2y = dxdy
問題6.2 ((dx2 + dy2) √(dx2 + dy2))/(-dxd2y) = a
問題6.3 (dsdy)/(d2x) = (a dx)/(dy)
問題6.4 d2y = αxn dx2
問題6.5 a2 d2y = y dx2
問題6.6 a2 d2y + y dx2 = 0
問題6.7 √(ay) d2y = dx2
問題6.8 d2y(y dy + a dx) = (dx2 + dy2) dy
問題6.9 (dsdy)/(d2x) = a arctan (dy)/(dx)
第II部 偏微分方程式
第1章 全微分方程式（3変数の場合）
全微分方程式
全微分方程式の可解条件
問題1.1（解をもたない微分方程式）z dx + x dy + y dz = 0
問題1.2 2(y + z) dx + (x + 3y + 2z) dy + (x + y) dz = 0
問題1.3 (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz = 0
問題1.4 (y2 + yz + z2) dx + (z2 + xz + x2) dy + (x2 + xy + y2) dz = 0
第2章 2変数関数の探求
問題2.1 (∂2z)/(∂x2) = (xy)/(a)
問題2.2 (∂2z)/(∂x2) = ((2nx)/(x2 + y2))・((∂z)/(∂x)) + (x)/(ay)
問題2.3 (∂2z)/(∂x∂y) = ((y)/(x2 + y2))・((∂z)/(∂x)) + (a)/(x2 + y2)
問題2.4 ((∂z)/(∂x))・((∂z)/(∂y)) = 1
問題2.5 ((∂z)/(∂x))2 + ((∂z)/(∂y))2 = 1
問題2.6 ((∂z)/(∂x))3 + x3 = 3((∂z)/(∂x))・((∂z)/(∂y))・x
問題2.7 (∂z)/(∂y) = (((x)/(y))・((∂z)/(∂x))) + ((y)/(x))
問題2.8（弦の振動方程式）(∂2z)/(∂y2) = a2・((∂2z)/(∂x2))（a は定量）
ISBN：9784320113428
。出版社：共立出版
。判型：A5
。ページ数：240ページ
。定価：2900円（本体）
。発行年月日：2018年09月
。発売日：2018年09月25日
。国際分類コード【Thema（シーマ）】 １：PBK。
