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代数関数体と符号理論

著：Henning Stichtenoth
訳：新妻　弘

紙版

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内容紹介

　符号理論の研究は1948年にC. E. シャノンによって発表された情報理論の論文A Mathematical Theory of Communication（Bell System Tech. J.、 1948）を出発点としている。
　1950年にハミング符号が考案され、1960年頃にはBCH符号やリード・ソロモン符号が考案された。ゴッパは1970年にゴッパ符号、そして1981年に論文Codes on algebraic curves（Soviet Math. Dokl.、 1981）において代数幾何符号を定義した。これ以後、今まで制約の多かった符号構成に対して、代数幾何符号は比較的構成しやすく信頼性が高いことが分かってきた。最近では代数幾何符号の理論が活発に研究され、それがすぐに実装されるという段階に至っており、多くの論文が発表されている。このような状況の中で、シュティヒテノス氏は代数幾何学（または数論）における関数体に注目し、代数関数体の理論によって純代数的に符号理論が構成できることを示した。それをまとめたのが本書である。
　符号理論の実用化のためには、信頼性の高い代数幾何符号の数学的な理解が必須であるが、代数幾何学自体を学ぶことには大変な時間と努力が必要となる。そこで、本書では、代数幾何のなかで関数体の理論に特化した手法を用いることで、最短の労力で代数幾何符号の理解を目指すやり方をとっている点が特色となっている。関数体を用いた本書の構成だと、通常の学部の代数学を学んでいれば本書のみで独習できる。
　本書は、理論に興味をもつ純粋数学者に有用である一方で、符号を実装する技術者にとっても例が多く読みやすい。特に、第2版になって演習問題が非常にたくさん付け加えられたが、これらの問題は具体的な曲線の方程式であり、実用的である。

第1章　代数関数論の基礎
1.1　座
1.2　有理関数体
1.3　付値の独立性
1.4　因子
1.5　リーマン・ロッホの定理
1.6　リーマン・ロッホの定理の帰結
1.7　ヴェイユ微分の局所成分
1.8　演習問題

第2章　代数幾何符号
2.1　符号
2.2　代数幾何符号
2.3　有理代数幾何符号
2.4　演習問題

第3章　代数関数体の拡大
3.1　関数体の代数拡大
3.2　関数体の部分環
3.3　局所整基底
3.4　ヴェイユ微分のコトレースとフルヴィッツの種数公式
3.5　差積
3.6　定数拡大
3.7　ガロア拡大I
3.8　ガロア拡大II
3.9　関数体の合成における分岐と分解
3.10　非分離拡大
3.11　関数体の種数に対する評価
3.12　演習問題

第4章　代数関数体の微分
4.1　導分と微分
4.2　P-進完備化
4.3　微分とヴェイユ微分
4.4　演習問題

第5章　有限定数体上の代数関数体
5.1　関数体のゼータ関数
5.2　ハッセ・ヴェイユの定理
5.3　ハッセ・ヴェイユ限界の改良
5.4　演習問題

第6章　代数関数体の例
6.1　楕円関数体
6.2　超楕円関数体
6.3　有理関数体の順巡回拡大
6.4　K(x)の初等アーベルp-拡大，char K = p > 0
6.5　演習問題

第7章　有理的座の個数に対する漸近的限界
7.1　伊原の定数A(q)
7.2　関数体の塔
7.3　順である塔
7.4　野性的な塔
7.5　演習問題

第8章　代数幾何符号の詳細
8.1　CΩ(D;G)の留数表現
8.2　代数幾何符号の自己同型写像
8.3　エルミート符号
8.4　Tsfasman-Vladut-Zinkの定理
8.5　代数幾何符号の復号
8.6　演習問題

第9章　部分体部分符号とトレース符号
9.1　部分体部分符号とトレース符号の次元
9.2　トレース符号の重み
9.3　演習問題

付録A　体論
A.1　代数拡大
A.2　埋め込みとK-同型写像
A.3　多項式の根の添加
A.4　代数的閉包
A.5　体の標数
A.6　分離多項式
A.7　体の分離拡大
A.8　純非分離拡大
A.9　完全体
A.10　単純代数拡大
A.11　ガロア拡大
A.12　ガロア理論
A.13　巡回拡大
A.14　ノルムとトレース
A.15　有限体
A.16　超越拡大

付録B　代数曲線と関数体
B.1　アフィン多様体
B.2　射影多様体
B.3　アフィン多様体による射影多様体の被覆
B.4　アフィン多様体の射影閉包
B.5　有理写像と射
B.6　代数曲線
B.7　曲線間の写像
B.8　曲線の非特異モデル
B.9　代数関数体に付随した曲線
B.10　非特異曲線と代数関数体
B.11　代数的閉体でない体上の多様体
B.12　代数的閉体でない体上の曲線
B.13　一つの例

記号表

参考文献

訳者あとがき

索引