目次

　はじめに
　訳者註

0　こんにちは！
　0.1　私たちの行き先
　0.2　いくつかの定義
　0.3　分解に関する基本
　0.4　最初の橋渡し
　0.5　幾何学的側面――超曲面の場合
　0.6　Z対k[X]
　0.7　例
　0.8　可換環の研究
　0.9　この本の内容
　0.10　こんな人に
　0.11　必要な知識
　演習問題

1　基礎
　1.1　約束
　1.2　イデアル
　1.3　素イデアルと極大イデアル，Spec Aの定義
　1.4　簡単な例
　1.5　例：Spec k[X,Y]とSpec Z[X]
　1.6　幾何学的解釈
　1.7　Zornの補題
　1.8　極大イデアルの存在
　1.9　たくさんの素イデアル
　1.10　べき零とべき零根基
　1.11　零因子について
　1.12　イデアルの根基
　1.13　局所環
　1.14　局所環の例
　1.15　べき級数環と局所環
　演習問題

2　加群
　2.1　加群の定義
　2.2　簡単な形式化
　2.3　準同型定理と同型定理
　2.4　加群の生成元
　2.5　例
　2.6　Cayley-Hamiltonの定理
　2.7　行列式のトリック
　2.8　系――中山の補題
　2.9　完全列
　2.10　完全列の分裂
　演習問題

3　Noether環
　3.1　昇鎖律
　3.2　Noether環
　3.3　例
　3.4　Noether加群
　3.5　Noether加群の性質
　3.6　Hilbertの基底定理
　演習問題

4　環の有限次拡大とNoetherの正規化
　4.1　有限A-代数，整A-代数
　4.2　有限 対 整
　4.3　塔法則
　4.4　整閉包
　4.5　非特異性と正規環(入門)
　4.6　Noetherの正規化
　4.7　主張の証明
　4.8　Noetherの正規化の別証明
　4.9　体の拡大
　4.10　弱零点定理
　演習問題

5　零点定理とSpec Aの幾何学
　5.1　弱零点定理
　5.2　k[X1,…,Xn]の極大イデアルとknの点
　5.3　多様体の定義
　5.4　代数的閉体でない場合
　5.5　VとIの対応
　5.6　零点定理
　5.7　既約多様体
　5.8　零点定理とSpec A
　5.9　多様体上のZariski位相
　5.10　多様体上のZariski位相はNoether性をもつ
　5.11　既約分解
　5.12　一般のSpec A上のZariski位相
　5.13　Noether環のSpec A
　5.14　多様体とSpec A
　演習問題

6　商環S^{-1}Aと局所化
　6.1　S^{-1}Aの構成
　6.2　簡単な性質
　6.3　AとS^{-1}Aのイデアル
　6.4　局所化
　6.5　商加群
　6.6　S^{-1}の完全性
　6.7　局所化と商の可換性
　6.8　さらなる局所化
　演習問題

7　準素分解
　7.1　加群の台Supp M
　7.2　考察
　7.3　Ass Mの定義
　7.4　Ass Mの性質
　7.5　SuppとAssの関係
　7.6　加群の分解
　7.7　準素イデアルの定義
　7.8　準素イデアルとAss
　7.9　準素分解
　7.10　準素分解についての考察
　7.11　準素分解の存在
　7.12　準素分解とAss(A/I)
　7.13　準素イデアルと局所化
　演習問題

8　DVRと正規整域
　8.1　序
　8.2　DVRの定義
　8.3　最初の特徴付け
　8.4　DVRに関する主定理
　8.5　一般の付値環
　8.6　一般の付値環の例
　8.7　正規性は局所的条件
　8.8　正規環は余次元1でDVR
　8.9　幾何学的考察
　8.10　DVRの共通部分
　8.11　正規化の有限性
　8.12　定理8.11の証明
　8.13　付録：トレースと分離性
　演習問題

9　さようなら！
　9.1　私たちの来た道
　9.2　これからの道
　9.3　補足
　9.4　Noether性では足りない
　9.5　秋月の例
　9.6　スキーム理論
　9.7　抽象代数と応用代数
　9.8　歴史をちょっと
　9.9　代数学を教えるときの問題点
　9.10　この本の書かれた背景
　演習問題

　参考文献
　訳者あとがき
　欧文索引
　和文索引